Когда действует теорема виета. Теорема Виета
С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение
.
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
- с помощью дискриминанта
- с помощью теоремы Виета (если возможно).
Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода квадратного многочлена
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} z + \frac{1}{7}z^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки
. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Решить
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac{4}{9}=0 \)
имеет вид
\(ax^2+bx+c=0, \)
где x - переменная, a, b и c - числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = -7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения
называют квадратными уравнениями
.
Определение.
Квадратным уравнением
называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа,
причём \(a \neq 0 \).
Числа a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом и число c - свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \(a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x - квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением
.
Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением . Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \(c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть
и делят обе части уравнения на a:
\(x^2 = -\frac{c}{a} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{ -\frac{c}{a}} \)
Так как \(c \neq 0 \), то \(-\frac{c}{a} \neq 0 \)
Если \(-\frac{c}{a}>0 \), то уравнение имеет два корня.
Если \(-\frac{c}{a} Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) раскладывают его левую часть на множители
и получают уравнение
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ ax+b=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-\frac{b}{a} \end{array} \right. \)
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\(x^2+\frac{b}{a}x +\frac{c}{a}=0 \)
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\(x^2+2x \cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2- \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow \)
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения
ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни -
различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\(D = b^2-4ac \)
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\(x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a} \), где \(D= b^2-4ac \)
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \(x=-\frac{b}{2a} \).
3) Если D Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень
(при D = 0) или не иметь корней (при D При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать,
что корней нет.
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x 1 и x 2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0
обладают свойством:
\(\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end{array} \right. \)
Теорема Виета
Пусть и обозначают корни приведенного квадратного уравнения
(1)
.
Тогда сумма корней равна коэффициенту при ,
взятому с обратным знаком. Произведение корней равно свободному члену:
;
.
Замечание по поводу кратных корней
Если дискриминант уравнения (1) равен нулю, то это уравнение имеет один корень. Но, чтобы избежать громоздких формулировок, принято считать, что в этом случае, уравнение (1) имеет два кратных, или равных, корня:
.
Доказательство первое
Найдем корни уравнения (1). Для этого применим формулу для корней квадратного уравнения :
;
;
.
Находим сумму корней:
.
Чтобы найти произведение, применим формулу:
.
Тогда
.
Теорема доказана.
Доказательство второе
Если числа и являются корнями квадратного уравнения (1), то
.
Раскрываем скобки.
.
Таким образом, уравнение (1) примет вид:
.
Сравнивая с (1) находим:
;
.
Теорема доказана.
Обратная теорема Виета
Пусть и есть произвольные числа. Тогда и являются корнями квадратного уравнения
,
где
(2)
;
(3)
.
Доказательство обратной теоремы Виета
Рассмотрим квадратное уравнение
(1)
.
Нам нужно доказать, что если и ,
то и являются корнями уравнения (1).
Подставим (2) и (3) в (1):
.
Группируем члены левой части уравнения:
;
;
(4)
.
Подставим в (4) :
;
.
Подставим в (4) :
;
.
Уравнение выполняется. То есть число является корнем уравнения (1).
Теорема доказана.
Теорема Виета для полного квадратного уравнения
Теперь рассмотрим полное квадратное уравнение
(5)
,
где ,
и есть некоторые числа. Причем .
Разделим уравнение (5) на :
.
То есть мы получили приведенное уравнение
,
где ;
.
Тогда теорема Виета для полного квадратного уравнения имеет следующий вид.
Пусть и обозначают корни полного квадратного уравнения
.
Тогда сумма и произведение корней определяются по формулам:
;
.
Теорема Виета для кубического уравнения
Аналогичным образом мы можем установить связи между корнями кубического уравнения. Рассмотрим кубическое уравнение
(6)
,
где ,
,
,
есть некоторые числа. Причем .
Разделим это уравнение на :
(7)
,
где ,
,
.
Пусть ,
,
есть корни уравнения (7) (и уравнения (6)). Тогда
.
Сравнивая с уравнением (7) находим:
;
;
.
Теорема Виета для уравнения n-й степени
Тем же способом можно найти связи между корнями ,
,
... , ,
для уравнения n-й степени
.
Теорема Виета для уравнения n-й степени имеет следующий вид:
;
;
;
.
Чтобы получить эти формулы мы записываем уравнение в следующем виде:
.
Затем приравниваем коэффициенты при ,
,
,
... , и сравниваем свободный член.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
С.М. Никольский, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2006.
I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.
Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.
Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.
Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .
Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:
x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.
Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .
На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.
Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:
Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.
Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.
Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:
II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на а:
x 1 +x 2 =-b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.
Сегодня достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножил ты корни – и дробь уж готова
В числителе с
, в знаменателе а.
И сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта
Что за беда
В числители в
, в знаменателе а
.
(Из школьного фольклора)
В эпиграфе замечательная теорема Франсуа Виета приведена не совсем точно. В самом деле, мы можем записать квадратное уравнение, которое не имеет корней и записать их сумму и произведение. Например, уравнение х 2 + 2х + 12 = 0 не имеет действительных корней. Но, подойдя формально, мы можем записать их произведение (х 1 · х 2 = 12) и сумму (х 1 + х 2 = -2). Наши стихи будут соответствовать теореме с оговоркой: «если уравнение имеет корни», т.е. D ≥ 0.
Первое практическое применение этой теоремы – составление квадратного уравнения, имеющего заданные корни. Второе: она позволяет устно решать многие квадратные уравнения. На отработку этих навыков, прежде всего и обращается внимание в школьных учебниках.
Мы же здесь будем рассматривать более сложные задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.
Пример 1.
Один из корней уравнения 5х 2 – 12х + с = 0 в три раза больше за второй. Найдите с.
Решение.
Пусть второй корень равен х 2 .
Тогда первый корень х1 = 3х 2 .
Согласно теореме Виета сумма корней равна 12/5 = 2,4.
Составим уравнение 3х 2 + х 2 = 2,4.
Отсюда х 2 = 0,6. Следовательно х 1 = 1,8.
Ответ: с = (х 1 · х 2) · а = 0,6 · 1,8 · 5 = 5,4.
Пример 2.
Известно, что х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 – 8х + p = 0, причём 3х 1 + 4х 2 = 29. Найдите p.
Решение.
Согласно теореме Виета х 1 + х 2 = 8, а по условию 3х 1 + 4х 2 = 29.
Решив систему из этих двух уравнений найдём значение х 1 = 3, х 2 = 5.
А следовательно p = 15.
Ответ: p = 15.
Пример 3.
Не вычисляя корней уравнения 3х 2 + 8 х – 1 = 0, найдите х 1 4 + х 2 4
Решение.
Заметим, что по теореме Виета х 1 + х 2 = -8/3 и х 1 · х 2 = -1/3 и преобразуем выражение
а) х 1 4 + х 2 4 = (х 1 2 + х 2 2) 2 – 2х 1 2 х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) 2 – 2(х 1 х 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Ответ: 4898/9.
Пример 4.
При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
2х 2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.
Решение.
Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами (а + 1) 2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3) 2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.
Для определенности будем считать, что х 1 >х 2 и получим х 1 + х 2 = (а + 1)/2 и х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х 1 – х 2 = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно. Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.
Получаем х 1 = а/2, х 2 = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.
Ответ: при а = 2.
Пример 5.
Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней уравнения
х 2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.
Решение.
Прежде всего, приведем уравнение к каноническому виду: х 2 – 2ах + 2а – 1 = 0. Оно будет иметь корни, если D/4 ≥ 0. Следовательно: а 2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1) 2 ≥ 0. А это условие справедливо при любом а.
Применим теорему Виета: х 1 + х 2 = 2а, х 1 · х 2 = 2а – 1. Посчитаем
х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 . Или после подстановки х 1 2 + х 2 2 = (2а) 2 – 2 · (2а – 1) = 4а 2 – 4а + 2. Осталось составить равенство которое соответствует условию задачи: х 1 + х 2 = х 1 2 + х 2 2 . Получим: 2а = 4а 2 – 4а + 2. Это квадратное уравнение имеет 2 корня: а 1 = 1 и а 2 = 1/2. Наименьший из них –1/2.
Ответ: 1/2.
Пример 6.
Найти зависимость между коэффициентами уравнения ах 2 + вх + с = 0 если сумма кубов его корней равна произведению квадратов этих корней.
Решение.
Будем исходить из того, что данное уравнение имеет корни и, поэтому, к нему можно применить теорему Виета.
Тогда условие задачи запишется так: х 1 3 + х 2 3 = х 1 2 · х 2 2 . Или: (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2) = (х 1 х 2) 2 .
Необходимо преобразовать второй множитель. х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) – х 1 х 2 .
Получим (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2) = (х 1 х 2) 2 . Осталось заменить суммы и произведения корней через коэффициенты.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 · c/a) = (c/a) 2 . Это выражение легко преобразуется к виду b(3ac – b 2)/a = c 2 . Соотношение найдено.
Замечание. Следует учесть, что полученное соотношение имеет смысл рассматривать лишь после того, как выполнится другое: D ≥ 0.
Пример 7.
Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов корней уравнения х 2 + 2ах + 3а 2 – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.
Решение.
Если у этого уравнения есть корни х 1 и х 2 , то их сумма х 1 + х 2 = -2а, а произведение х 1 · х 2 = 3а 2 – 6а – 2.
Вычисляем х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 = (-2а) 2 – 2(3а 2 – 6а – 2) = -2а 2 + 12а + 4 = -2(а – 3) 2 + 22.
Теперь очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при а = 3.
Остается проверить, в самом ли деле у исходного квадратного уравнения существуют корни при а = 3. Проверяем подстановкой и получаем: х 2 + 6х + 7 = 0 и для него D = 36 – 28 > 0.
Следовательно, ответ: при а = 3.
Пример 8.
Уравнение 2х 2 – 7х – 3 = 0 имеет корни х 1 и х 2 . Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х 1 = 1/х 1 и Х 2 = 1/х 2 . (*)
Решение.
Очевидно, что х 1 + х 2 = 7/2 и х 1 · х 2 = -3/2. Составим второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0. Для этого используем утверждение, обратное теореме Виета. Получим: р = -(Х 1 + Х 2) и q = Х 1 · Х 2 .
Выполнив подстановку в эти формулы, исходя из (*), тогда: р = -(х 1 + х 2)/(х 1 · х 2) = 7/3 и q = 1/(х 1 · х 2) = -2/3.
Искомое уравнение примет вид: х 2 + 7/3 · х – 2/3 = 0. Теперь легко посчитаем утроенную сумму его коэффициентов:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Ответ получен.
Остались вопросы? Не знаете, как использовать теорему Виета?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Любое полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 можно привести к виду x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0 , если предварительно разделить каждое слагаемое на коэффициент a перед x 2 . А если ввести новые обозначения (b/a) = p и (c/a) = q , то будем иметь уравнение x 2 + px + q = 0 , которое в математике называется приведенным квадратным уравнением .
Корни приведенного квадратного уравнения и коэффициенты p и q связаны между собой. Это подтверждается теоремой Виета , названной так в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в конце XVI века.
Теорема . Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену q .
Запишем данные соотношения в следующем виде:
Пусть x 1 и x 2 различные корни приведенного уравнения x 2 + px + q = 0 . Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 · x 2 = q .
Для доказательства подставим каждый из корней x 1 и x 2 в уравнение. Получаем два верных равенства:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Вычтем из первого равенства второе. Получим:
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Первые два слагаемых раскладываем по формуле разности квадратов:
(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0
По условию корни x 1 и x 2 различные. Поэтому мы можем сократить равенство на (x 1 – x 2) ≠ 0 и выразить p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Первое равенство доказано.
Для доказательства второго равенства подставим в первое уравнение
x 1 2 + px 1 + q = 0 вместо коэффициента p равное ему число – (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Преобразовав левую часть уравнения, получаем:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, что и требовалось доказать.
Теорема Виета хороша тем, что, даже не зная корней квадратного уравнения, мы можем вычислить их сумму и произведение .
Теорема Виета помогает определять целые корни приведенного квадратного уравнения. Но у многих учащихся это вызывает затруднения из-за того, что они не знают четкого алгоритма действия, особенно если корни уравнения имеют разные знаки.
Итак, приведенное квадратное уравнение имеет вид x 2 + px + q = 0, где x 1 и x 2 его корни. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 · x 2 = q.
Можно сделать следующий вывод .
Если в уравнении перед последним членом стоит знак «минус», то корни x 1 и x 2 имеют различные знаки. Кроме того, знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.
Исходя из того, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, а перед полученным результатом ставится знак большего по модулю числа, следует действовать следующим образом:
- определить такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p;
- поставить перед меньшим из полученных чисел знак второго коэффициента уравнения; второй корень будет иметь противоположный знак.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1 .
Решить уравнение x 2 – 2x – 15 = 0.
Решение .
Попробуем решить данное уравнение с помощью предложенных выше правил. Тогда можно точно сказать, что данное уравнение будет иметь два различных корня, т.к. D = b 2 – 4ac= 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это будут числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак «минус», т.е. знак второго коэффициента уравнения. Таким образом, получим корни уравнения x 1 = -3 и x 2 = 5.
Ответ. x 1 = -3 и x 2 = 5.
Пример 2 .
Решить уравнение x 2 + 5x – 6 = 0.
Решение .
Проверим, имеет ли данное уравнение корни. Для этого найдем дискриминант:
D = b 2 – 4ac= 25 + 24 = 49 > 0. Уравнение имеет два различных корня.
Возможные множители числа 6 - это 2 и 3, 6 и 1. Разность равна 5 у пары 6 и 1. В этом примере коэффициент второго слагаемого имеет знак «плюс», поэтому и меньшее число будет иметь такой же знак. А вот перед вторым числом будет стоять знак «минус».
Ответ: x 1 = -6 и x 2 = 1.
Теорему Виета можно записать и для полного квадратного уравнения. Так, если квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни x 1 и x 2 , то для них выполняются равенства
x 1 + x 2 = -(b/a) и x 1 · x 2 = (c/a) . Однако применение этой теоремы в полном квадратном уравнении довольно проблематично, т.к. при наличии корней, хотя бы один из них является дробным числом. А работать с подбором дробей достаточно трудно. Но все-таки выход есть.
Рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Умножим его левую и правую части на коэффициент a. Уравнение примет вид (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Теперь введем новую переменную, например t = ax.
В этом случае полученное уравнение превратиться в приведенное квадратное уравнение вида t 2 + bt + ac = 0, корни которого t 1 и t 2 (при их наличии) могут быть определены по теореме Виета.
В этом случае корни исходного квадратного уравнения будут
x 1 = (t 1 / a) и x 2 = (t 2 / a).
Пример 3 .
Решить уравнение 15x 2 – 11x + 2 = 0.
Решение .
Составляем вспомогательное уравнение. Умножим каждое слагаемое уравнения на 15:
15 2 x 2 – 11 · 15x + 15 · 2 = 0.
Делаем замену t = 15x. Имеем:
t 2 – 11t + 30 = 0.
По теореме Виета корнями данного уравнения будут t 1 = 5 и t 2 = 6.
Возвращаемся к замене t = 15x:
5 = 15x или 6 = 15x. Таким образом, x 1 = 5/15 и x 2 = 6/15. Сокращаем и получаем окончательный ответ: x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.
Ответ. x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.
Чтобы освоить решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, учащимся необходимо как можно больше тренироваться. Именно в этом и заключается секрет успеха.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
