Краткая теория дифракция света. Школьная энциклопедия

Л 3 -4

Дифракция света

Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле – любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшое отверстие в экранах и т.д.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате наложения (суперпозиции) волн. По историческим причинам отклонение от закона независимости световых пучков, возникающее в результате суперпозиции когерентных волн, принято называть интерференцией волн. Отклонение от закона прямолинейного распространения света, в свою очередь, принято называть дифракцией волн.

Наблюдение дифракции осуществляется обычно по следующей схеме. На пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности световой волны. За преградой располагается экран, на котором возникает дифракционная картина.

Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюденияP расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точкуP , образуют практически параллельные пучки, говорят одифракции в параллельных лучах или одифракции Фраунгофера . В противном случае говорят одифракции Френеля . Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, поместив за источником светаS и перед точкой наблюденияP по линзе так, чтобы точкиS иP оказались в фокальной плоскости соответствующей линзы (рис.).

Принципиально дифракция Фраунгофера не отличается от дифракции Френеля. Количественный критерий, позволяющий установить, какой вид дифракции имеет место, определяется величиной безразмерного параметра , гдеb – характерный размер препятствия,l – расстояние между препятствием и экраном, на котором наблюдается дифракционная картина,– длина волны. Если

Явление дифракции качественно объясняется с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени. Для монохроматической волны волновая поверхность есть поверхность, на которой колебания совершаются в одинаковой фазе.

Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране (рис.). Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в изотропной среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т.е. огибает края отверстия.

Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности на фронте волны. Из повседневного опыта известно, что в большом числе случаев лучи света не отклоняются от их прямолинейного распространения. Так, предметы, освещенные точечным источником света, дают резкую тень. Таким образом, принцип Гюйгенса нуждается в дополнении, позволяющем определять интенсивность волны.

Френель дополнил принцип Гюйгенса идеей интерференции вторичных волн. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля , световая волна, возбуждаемая каким-либо источникомS , может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, излучаемых малыми элементами некоторой замкнутой поверхности, охватывающей источникS . Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому источники вторичных волн действуют синфазно. В аналитическом виде для точечного источника этот принцип записывается в виде

, (1) гдеE – световой вектор, включающий в себя временную зависимость
,k – волновое число,r – расстояние от точкиP на поверхности S до точкиP ,K – коэффициент, зависящий от ориентации площадки по отношению к источнику и точкеP . Правомерность формулы (1) и вид функцииK устанавливается в рамках электромагнитной теории света (в оптическом приближении).

В том случае, когда между источником S и точкой наблюденияP имеются непрозрачные экраны с отверстиями, действие этих экранов может быть учтено следующим образом. На поверхности непрозрачных экранов амплитуды вторичных источников считаются равными нулю; в области отверстий амплитуды источников такие же, как при отсутствии экрана (так называемое приближение Кирхгофа).

Метод зон Френеля. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в принципе найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства и решить задачу о распространении света. В общем случае расчет интерференции вторичных волн по формуле (1) довольно сложный и громоздкий. Однако ряд задач можно решить, применив чрезвычайно наглядный прием, заменяющий сложные вычисления. Метод этот получил название методазон Френеля .

Суть метода разберем на примере точечного источника света S . Волновые поверхности представляют собой в этом случае концентрические сферы с центром в S .Разобьем изображенную на рисунке волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точкиP отличаются на
. Обладающие таким свойством зоны называютсязонами Френеля . Из рис. видно, что расстояниеот внешнего края – m -й зоны до точкиP равно

, гдеb – расстояние от вершины волновой поверхностиO до точкиP .

Колебания, приходящие в точку P от аналогичных точек двух соседних зон (например, точек, лежащих в середине зон или у внешних краев зон), находятся в противофазе. Поэтому колебания от соседних зон будут взаимно ослаблять друг друга и амплитуда результирующего светового колебания в точкеP

, (2) где,, … – амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, … зонами.

Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля. Пусть внешняя граница m -й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты. Обозначив площадь этого сегмента через, найдем, что, площадьm -й зоны Френеля равна
. Из рисунка видно, что. После несложных преобразований, учитывая
и
, получим

. Площадь сферического сегмента и площадьm -й зоны Френеля соответственно равны

,
. (3) Таким образом, при не слишком большихm площади зон Френеля одинаковы. Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точкеP тем меньше, чем больше уголмежду нормальюn к поверхности зоны и направлением наP , т.е. действие зон постепенно убывает от центральной к периферийным. Кроме того, интенсивность излучения в направлении точкиP уменьшается с ростомm и вследствие увеличения расстояния от зоны до точкиP . Таким образом, амплитуды колебаний образуют монотонно убывающую последовательность

Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико; например, при
и
число зон достигает~10 6 . Это означает, что амплитуда убывает очень медленно и поэтому можно приближенно считать

. (4) Тогда выражение (2) после перегруппировки суммируется

, (5) так как выражения в скобках, согласно (4), равны нулю, а вклад последнего слагаемого ничтожно мал. Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точкеP определяется как бы половинным действием центральной зоны Френеля.

При не слишком больших m высота сегмента
, поэтому можно считать, что
. Подставив значение для, получим для радиуса внешней границыm -й зоны

. (6) При
и
радиус первой (центральной) зоны
. Следовательно, распространение света отS кP происходит так, как если бы световой поток шел внутри очень узкого канала вдольSP , т.е. прямолинейно.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются зонная пластинка – в простейшем случае стеклянная пластинка, состоящая из системы чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец, с радиусами зон Френеля заданной конфигурации. Если поместить зонную пластинку в строго определенном месте (на расстоянии a от точечного источника и на расстоянииb от точки наблюдения), то результирующая амплитуда будет больше, чем при полностью открытом волновом фронте.

Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракция Френеля наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, в данном случае экрана с отверстием. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источникаS , встречает на своем пути экран с отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране, параллельном экрану с отверстием. Ее вид зависит от расстояния между отверстием и экраном (для данного диаметра отверстия). Проще определить амплитуду световых колебаний в центре картины. Для этого разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. Амплитуда колебания, возбуждаемая всеми зонами равна

, (7) где знак плюс отвечает нечетнымm и минус – четнымm .

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в центральной точке будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Например, если отверстие открывает одну зону Френеля, амплитуда
, то интенсивность (
) больше в четыре раза.

Расчет амплитуды колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Качественно ясно, что дифракционная картина будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с общим центром (если m четное, то в центре будет темное кольцо, еслиm нечетное – то светлое пятно), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины. Если отверстие освещается не монохроматическим светом, а белым светом, то кольца окрашены.

Рассмотрим предельные случаи. Если отверстие открывает лишь часть централь­ной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не возникает. Если отверстие открывает большое число зон, то
и амплитуда в центре
, т.е. такая же, как и при полностью открытом волновом фронте; чередование светлых и темных колец происходит лишь в очень узкой области на границе геометрической тени. Фактически дифракционная картина не наблюдается, и распространение света, по сути, является прямолинейным.

Дифракция Френеля на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источникаS , встречает на своем пути диск (рис.). Дифракционная картина, наблюдаемая на экране, является центрально симметричной. Определим амплитуду световых колебаний в центре. Пусть диск закрываетm первых зон Френеля. Тогда амплитуда колебаний равна

или
, (8) так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в центре всегда наблюдается дифракционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами. При небольшом числе закрытых зон амплитуда
мало отличается от. Поэтому интенсивность в центре будет почти такая же, как при отсутствии диска. Изменение освещенности экрана с расстоянием от центра картины изображено на рис.

Рассмотрим предельные случаи. Если диск закрывает лишь небольшую часть центральной зоны Френеля, он совсем не отбрасывает тени – освещенность экрана всюду остается такой же, как при отсутствии диска. Если диск закрывает много зон Френеля, чередование светлых и темных колец наблюдается только в узкой области на границе геометрической тени. В этом случае
, так что светлое пятно в центре отсутствует, и освещенность в области геометрической тени практически всюду равна нулю. Фактически дифракционная картина не наблюдается, и распространение света является прямолинейным.

Дифракция Фраунгофера на одной щели. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально плоскости узкой щели ширинойa . Оптическая разность хода между крайними лучами, идущими от щели в некотором направлении

.

Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели на зоны Френеля, имеющие вид равновеликих полос, параллельных щели. Так как ширина каждой зоны выбирается такой, чтобы разность хода от краев этих зон была равна
, то на ширине щели уместится
зон. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, так как зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения. Фазы колебаний от пары соседних зон Френеля отличаются на, поэтому, суммарная амплитуда этих колебаний равна нулю.

Если число зон Френеля четное, то

, (9а) и в точкеB наблюдается минимум освещенности (темный участок), если же число зон Френеля нечетное, то

(9б) и наблюдается близкая к максимуму освещенность, соответствующей действию одной нескомпенсированной зоны Френеля. В направлении
щель действует, как одна зона Френеля, и в этом направлении наблюдается наибольшая освещенность, точкесоответствует центральный или главный максимум освещенности.

Расчет освещенности в зависимости от направления дает

, (10) где– освещенность в середине дифракционной картины (против центра линзы),– освещенность в точке, положение которой определяется направлением. График функции (10) изображен на рис. Максимумы освещенности соответствуют значениям, удовлетворяющие условиям

,
,
и т.д. Вместо этих условий для максимумов приближенно можно пользоваться соотношением (9б), дающим близкие значения углов. Величина вторичных максимумов быстро убывает. Численные значения интенсивностей главного и следующих максимумов относятся как

и т.д., т.е. основная часть световой энергии, прошедшей через щель, сосредоточена в главном максимуме.

Сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается, а его освещенность уменьшается. Наоборот, чем щель шире, тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих полос больше. При
в центре получается резкое изображение источника света, т.е. имеет место прямолинейное распространение света.

Темы кодификатора ЕГЭ: дифракция света, дифракционная решётка.

Если на пути волны возникает препятствие, то происходит дифракция - отклонение волны от прямолинейного распространения. Это отклонение не сводится к отражению или преломлению, а также искривлению хода лучей вследствие изменения показателя преломления среды.Дифракция состоит в том, что волна огибает край препятствия и заходит в область геометрической тени.

Пусть, например, плоская волна падает на экран с достаточно узкой щелью (рис. 1 ). На выходе из щели возникает расходящаяся волна, и эта расходимость усиливается с уменьшением ширины щели.

Вообще, дифракционные явления выражены тем отчётливей, чем мельче препятствие. Наиболее существенна дифракция в тех случаях, когда размер препятствия меньше или порядка длины волны. Именно такому условию должна удовлетворять ширина щели на рис. 1.

Дифракция, как и интерференция, свойственна всем видам волн - механическим и электромагнитным. Видимый свет есть частный случай электромагнитных волн; неудивительно поэтому, что можно наблюдать
дифракцию света.

Так, на рис. 2 изображена дифракционная картина, полученная в результате прохождения лазерного луча сквозь небольшое отверстие диаметром 0,2мм.

Мы видим, как и полагается, центральное яркое пятно; совсем далеко от пятна расположена тёмная область - геометрическая тень. Но вокруг центрального пятна - вместо чёткой границы света и тени! - идут чередующиеся светлые и тёмные кольца. Чем дальше от центра, тем менее яркими становятся светлые кольца; они постепенно исчезают в области тени.

Напоминает интерференцию, не правда ли? Это она и есть; данные кольца являются интерференционными максимумами и минимумами. Какие же волны тут интерферируют? Скоро мы разберёмся с этим вопросом, а заодно и выясним, почему вообще наблюдается дифракция.

Но прежде нельзя не упомянуть самый первый классический эксперимент по интерференции света - опыт Юнга, в котором существенно использовалось явление дифракции.

Опыт Юнга.

Всякий эксперимент с интерференцией света содержит некоторый способ получения двух когерентных световых волн. В опыте с зеркалами Френеля, как вы помните, когерентными источниками являлись два изображения одного и того же источника, полученные в обоих зеркалах.

Самая простая идея, которая возникла прежде всего, состояла в следующем. Давайте проколем в куске картона два отверстия и подставим под солнечные лучи. Эти отверстия будут когерентными вторичными источниками света, поскольку первичный источник один - Солнце. Следовательно, на экране в области перекрытия пучков, расходящихся от отверстий, мы должны увидеть интерференционную картину.

Такой опыт был поставлен задолго до Юнга итальянским учёным Франческо Гримальди (который открыл дифракцию света). Интерференции, однако, не наблюдалось. Почему же? Вопрос это не очень простой, и причина заключается в том, что Солнце - не точечный, а протяжённый источник света (угловой размер Солнца равен 30 угловым минутам). Солнечный диск состоит из множества точечных источников, каждый из которых даёт на экране свою интерференционную картину. Накладываясь, эти отдельные картины "смазывают" друг друга, и в результате на экране получается равномерная освещённость области перекрытия пучков.

Но если Солнце является чрезмерно "большим", то нужно искусственно создать точечный первичный источник. С этой целью в опыте Юнга использовано маленькое предварительное отверстие (рис. 3 ).

Рис. 3. Схема опыта Юнга

Плоская волна падает на первое отверстие, и за отверстием возникает световой конус, расширяющийся вследствие дифракции. Он достигает следующих двух отверстий, которые становятся источниками двух когерентных световых конусов. Вот теперь - благодаря точечности первичного источника - в области перекрытия конусов будет наблюдаться интерференционная картина!

Томас Юнг осуществил этот эксперимент, измерил ширину интерференционных полос, вывел формулу и с помощью этой формулы впервые вычислил длины волн видимого света. Вот почему этот опыт вошёл в число самых знаменитых в истории физики.

Принцип Гюйгенса–Френеля.

Напомним формулировку принципа Гюйгенса: каждая точка, вовлечённая в волновой процесс, является источником вторичных сферических волн; эти волны распространяются от данной точки, как из центра, во все стороны и накладываются друг на друга.

Но возникает естественный вопрос: а что значит "накладываются"?

Гюйгенс свёл свой принцип к чисто геометрическому способу построения новой волновой поверхности как огибающей семейства сфер, расширяющихся от каждой точки исходной волновой поверхности. Вторичные волны Гюйгенса - это математические сферы, а не реальные волны; их суммарное действие проявляется только на огибающей, т. е. на новом положении волновой поверхности.

В таком виде принцип Гюйгенса не давал ответа на вопрос, почему в процессе распространения волны не возникает волна, идущая в обратном направлении. Не объяснёнными оставались и дифракционные явления.

Модификация принципа Гюйгенса состоялась лишь спустя 137 лет. Огюстен Френель заменил вспомогательные геометрические сферы Гюйгенса на реальные волны и предположил, что эти волны интерферируют друг с другом.

Принцип Гюйгенса–Френеля. Каждая точка волновой поверхности служит источником вторичных сферических волн. Все эти вторичные волны являются когерентными ввиду общности их происхождения от первичного источника (и, стало быть, могут интерферировать друг с другом); волновой процесс в окружающем пространстве есть результат интерференции вторичных волн.

Идея Френеля наполнила принцип Гюйгенса физическим смыслом. Вторичные волны, интерферируя, усиливают друг друга на огибающей своих волновых поверхностей в направлении "вперёд", обеспечивая дальнейшее распространение волны. А в направлении "назад" происходит их интерференция с исходной волной, наблюдается взаимное гашение, и обратная волна не возникает.

В частности, свет распространяется там, где вторичные волны взаимно усиливаются. А в местах ослабления вторичных волн мы будем видеть тёмные участки пространства.

Принцип Гюйгенса–Френеля выражает важную физическую идею: волна, удалившись от своего источника, в дальнейшем "живёт своей жизнью" и уже никак от этого источника не зависит. Захватывая новые участки пространства, волна распространяется всё дальше и дальше вследствие интерференции вторичных волн, возбуждённых в различных точках пространства по мере прохождения волны.

Как принцип Гюйгенса–Френеля объясняет явление дифракции? Почему, например, происходит дифракция на отверстии? Дело в том, что из бесконечной плоской волновой поверхности падающей волны экранное отверстие вырезает лишь маленький светящийся диск, и последующее световое поле получается в результате интерференции волн вторичных источников, расположенных уже не на всей плоскости, а лишь на этом диске. Естественно, новые волновые поверхности теперь не будут плоскими; ход лучей искривляется, и волна начинает распространяться в разных направлениях, не совпадающих с первоначальным. Волна огибает края отверстия и проникает в область геометрической тени.

Вторичные волны, испущенные различными точками вырезанного светлого диска, интерферируют друг с другом. Результат интерференции определяется разностью фаз вторичных волн и зависит от угла отклонения лучей. В результате возникает чередование интерференционных максимумов и минимумов - что мы и видели на рис. 2 .

Френель не только дополнил принцип Гюйгенса важной идеей когерентности и интерференции вторичных волн, но и придумал свой знаменитый метод решения дифракционных задач, основанный на построении так называемых зон Френеля . Изучение зон Френеля не входит в школьную программу - о них вы узнаете уже в вузовском курсе физики. Здесь мы упомянем лишь, что Френелю в рамках своей теории удалось дать объяснение нашего самого первого закона геометрической оптики - закона прямолинейного распространения света.

Дифракционная решётка.

Дифракционная решётка - это оптический прибор, позволяющий получать разложение света на спектральные составляющие и измерять длины волн. Дифракционные решётки бывают прозрачными и отражательными.

Мы рассмотрим прозрачную дифракционную решётку. Она состоит из большого числа щелей ширины , разделённых промежутками ширины (рис. 4 ). Свет проходит только сквозь щели; промежутки свет не пропускают. Величина называется периодом решётки.

Рис. 4. Дифракционная решётка

Дифракционная решётка изготавливается с помощью так называемой делительной машины, которая наносит штрихи на поверхность стекла или прозрачной плёнки. При этом штрихи оказываются непрозрачными промежутками, а нетронутые места служат щелями. Если, например, дифракционная решётка содержит 100 штрихов на миллиметр, то период такой решётки будет равен: d= 0,01 мм= 10 мкм.

Сперва мы посмотрим, как проходит сквозь решётку монохроматический свет, т. е. свет со строго определённой длиной волны. Отличным примером монохроматического света служит луч лазерной указки длина волны около 0,65 мкм).

На рис. 5 мы видим такой луч, падающий на одну из дифракционных решёток стандартного набора. Щели решётки расположены вертикально, и на экране за решёткой наблюдаются периодически расположенные вертикальные полосы.

Как вы уже поняли, это интерференционная картина. Дифракционная решётка расщепляет падающую волну на множество когерентных пучков, которые распространяются по всем направлениям и интерферируют друг с другом. Поэтому на экране мы видим чередование максимумов и минимумов интерференции - светлых и тёмных полос.

Теория дифракционной решётки весьма сложна и во всей своей полноте оказывается далеко за рамками школьной программы. Вам следует знать лишь самые элементарные вещи, связанные с одной-единственной формулой; эта формула описывает положения максимумов освещённости экрана за дифракционной решёткой.

Итак, пусть на дифракционную решётку с периодом падает плоская монохроматическая волна (рис. 6 ). Длина волны равна .

Рис. 6. Дифракция на решётке

Для большей чёткости интерференционной картины можно поставить линзу между решёткой и экраном, а экран поместить в фокальной плоскости линзы. Тогда вторичные волны, идущие параллельно от различных щелей, соберутся в одной точке экрана (побочном фокусе линзы). Если же экран расположен достаточно далеко, то особой необходимости в линзе нет - лучи, приходящие в данную точку экрана от различных щелей, будут и так почти параллельны друг другу.

Рассмотрим вторичные волны, отклоняющиеся на угол .Разность хода между двумя волнами, идущими от соседних щелей, равна маленькому катету прямоугольного треугольника с гипотенузой ; или, что то же самое, эта разность хода равна катету треугольника . Но угол равен углу , поскольку это острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, наша разность хода равна .

Интерференционные максимумы наблюдаются в тех случаях, когда разность хода равна целому числу длин волн:

(1)

При выполнении этого условия все волны, приходящие в точку от различных щелей, будут складываться в фазе и усиливать друг друга. Линза при этом не вносит дополнительной разности хода - несмотря на то, что разные лучи проходят через линзу разными путями. Почему так получается? Мы не будем вдаваться в этот вопрос, поскольку его обсуждение выходит за рамки ЕГЭ по физике.

Формула (1) позволяет найти углы, задающие направления на максимумы:

. (2)

При получаем Это центральный максимум , или максимум нулевого порядка .Разность хода всех вторичных волн, идущих без отклонения, равна нулю, и в центральном максимуме они складываются с нулевым сдвигом фаз. Центральный максимум - это центр дифракционной картины, самый яркий из максимумов. Дифракционная картина на экране симметрична относительно центрального максимума.

При получаем угол:

Этот угол задаёт направления на максимумы первого порядка . Их два, и расположены они симметрично относительно центрального максимума. Яркость в максимумах первого порядка несколько меньше, чем в центральном максимуме.

Аналогично, при имеем угол:

Он задаёт направления на максимумы второго порядка . Их тоже два, и они также расположены симметрично относительно центрального максимума. Яркость в максимумах второго порядка несколько меньше, чем в максимумах первого порядка.

Примерная картина направлений на максимумы первых двух порядков показана на рис. 7 .

Рис. 7. Максимумы первых двух порядков

Вообще, два симметричных максимума k -го порядка определяются углом:

. (3)

При небольших соответствующие углы обычно невелики. Например, при мкм и мкм максимумы первого порядка расположены под углом .Яркость максимумов k -го порядка постепенно убывает с ростом k . Сколько всего максимумов можно увидеть? На этот вопрос легко ответить с помощью формулы (2) . Ведь синус не может быть больше единицы, поэтому:

Используя те же числовые данные, что и выше, получим: . Следовательно, наибольший возможный порядок максимума для данной решётки равен 15.

Посмотрите ещё раз на рис. 5 . На экране мы видны 11 максимумов. Это центральный максимум, а также по два максимума первого, второго, третьего, четвёртого и пятого порядков.

С помощью дифракционной решётки можно измерить неизвестную длину волны. Направляем пучок света на решётку (период которой мы знаем), измеряем угол на максимум первого
порядка, пользуемся формулой (1) и получаем:

Дифракционная решётка как спектральный прибор.

Выше мы рассматривали дифракцию монохроматического света, каковым является лазерный луч. Часто приходится иметь дело с немонохроматическим излучением. Оно является смесью различных монохроматических волн, которые составляют спектр данного излучения. Например, белый свет - это смесь волн всего видимого диапазона, от красного до фиолетового.

Оптический прибор называется спектральным , если он позволяет раскладывать свет на монохроматические компоненты и тем самым исследовать спектральный состав излучения. Простейший спектральный прибор вам хорошо известен - это стеклянная призма. К числу спектральных приборов относится также и дифракционная решётка.

Предположим, что на дифракционную решётку падает белый свет. Давайте вернёмся к формуле (2) и подумаем, какие выводы из неё можно сделать.

Положение центрального максимума () не зависит от длины волны. В центре дифракционной картины сойдутся с нулевой разностью хода все монохроматические составляющие белого света. Поэтому в центральном максимуме мы увидим яркую белую полосу.

А вот положения максимумов порядка определяются длиной волны. Чем меньше , тем меньше угол для данного . Поэтому в максимуме k -го порядка монохроматические волны разделяются в пространстве: самой близкой к к центральному максимуму окажется фиолетовая полоса, самой далёкой - красная.

Следовательно, в каждом порядке белый свет раскладывается решёткой в спектр.
Максимумы первого порядка всех монохроматических компонент образуют спектр первого порядка; затем идут спектры второго, третьего и так далее порядков. Спектр каждого порядка имеет вид цветной полосы, в которой присутствуют все цвета радуги - от фиолетового до красного.

Дифракция белого света показана на рис. 8 . Мы видим белую полосу в центральном максимуме, а по бокам - два спектра первого порядка. По мере возрастания угла отклонения цвет полос меняется от фиолетового к красному.

Но дифракционная решётка не только позволяет наблюдать спектры, т. е. проводить качественный анализ спектрального состава излучения. Важнейшим достоинством дифракционной решётки является возможность количественного анализа - как уже говорилось выше, мы с её помощью можем измерять длины волн. При этом измерительная процедура весьма проста: фактически она сводится к измерению угла направления на максимум.

Естественными примерами дифракционных решёток, встречающихся в природе, являются перья птиц, крылья бабочек, перламутровая поверхность морской раковины. Если, прищурившись, посмотреть на солнечный свет, то можно увидеть радужную окраску вокруг ресниц.Наши ресницы действуют в данном случае как прозрачная дифракционная решётка на рис. 6 , а в качестве линзы выступает оптическая система роговицы и хрусталика.

Спектральное разложение белого света, даваемое дифракционной решёткой, проще всего наблюдать, глядя на обычный компакт-диск (рис. 9 ). Оказывается, дорожки на поверхности диска образуют отражательную дифракционную решётку!

Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Как показывает опыт, свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск, шарик или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина - система чередующихся светлых и темных колец. Если препятствие имеет линейный характер (щель, нить, край экрана), то на экране возникает система параллельных дифракционных полос.

Дифракционные явления были хорошо известны еще во времена Ньютона, но объяснить их на основе корпускулярной теории света оказалось невозможным. Первое качественное объяснение явления дифракции на основе волновых представлений было дано английским ученым Т.Юнгом. Независимо от него в 1818 г. французский ученый О.Френель развил количественную теорию дифракционных явлений. В основу теории Френель положил принцип Гюйгенса, дополнив его идеей об интерференции вторичных волн. Принцип Гюйгенса в его первоначальном виде позволял находить только положения волновых фронтов в последующие моменты времени, т. е. определять направление распространения волны. По существу, это был принцип геометрической оптики. Гипотезу Гюйгенса об огибающих вторичных волнах Френель заменил физически ясным положением, согласно которому вторичные волны, приходя в точку наблюдения, интерферируют друг с другом. Принцип Гюйгенса-Френеля также представлял собой определенную гипотезу, но последующий опыт подтвердил ее справедливость. В ряде практически важных случаев решение дифракционных задач на основе этого принципа дает достаточно хороший результат. Рис. 3.8.1 иллюстрирует принцип Гюйгенса-Френеля.

Пусть поверхность S представляет собой положение волнового фронта в некоторый момент. В теории волн под волновым фронтом понимают поверхность, во всех точках которой колебания происходят с одним и тем же значением фазы (синфазно). В частности, волновые фронта плоской волны - это семейство параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны. Волновые фронта сферической волны, испускаемой точечным источником - это семейство концентрических сфер.

Для того чтобы определить колебания в некоторой точке P , вызванное волной, по Френелю нужно сначала определить колебания, вызываемые в этой точке отдельными вторичными волнами, приходящими в нее от всех элементов поверхности S (ΔS 1 , ΔS 2 и т. д.), и затем сложить эти колебания с учетом их амплитуд и фаз. При этом следует учитывать только те элементы волновой поверхности S , которые не загораживаются каким-либо препятствием.

Рассмотрим в качестве примера простую дифракционную задачу о прохождении плоской монохроматической волны от удаленного источника через небольшое круглое отверстие радиуса R в непрозрачном экране (рис. 3.8.2).

Точка наблюдения P находится на оси симметрии на расстоянии L от экрана. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля следует мысленно заселить волновую поверхность, совпадающую с плоскостью отверстия, вторичными источниками, волны от которых достигают точки P . В результате интерференции вторичных волн в точке P возникает некоторое результирующее колебание, квадрат амплитуды которого (интенсивность) нужно определить при заданных значениях длины волны λ, амплитуды A 0 падающей волны и геометрии задачи. Для облегчения расчета Френель предложил разбить волновую поверхность падающей волны в месте расположения препятствия на кольцевые зоны (зоны Френеля ) по следующему правилу: расстояние от границ соседних зон до точки P должны отличается на половину длины волны, т. е.

Если смотреть на волновую поверхность из точки P , то границы зон Френеля будут представлять собой концентрические окружности (рис. 3.8.3).

Из рис. 3.8.2 легко найти радиусы ρm зон Френеля:

Так в оптике λ << L , вторым членом под корнем можно пренебречь. Количество зон Френеля, укладывающихся на отверстии, определяется его радиусом R :

Здесь m - не обязательно целое число. Результат интерференции вторичных волн в точке P зависит от числа m открытых зон Френеля. Легко показать, что все зоны имеют одинаковую площадь:

Одинаковые по площади зоны должны были бы возбуждать в точке наблюдения колебания с одинаковой амплитудой. Однако у каждой последующей зоны угол α между лучом, проведенным в точку наблюдения, и нормалью к волновой поверхности возрастает. Френель высказал предположение (подтвержденное экспериментом), что с увеличением угла α амплитуда колебаний уменьшается, хотя и незначительно:

A 1 > A 2 > A 3 > ... > A 1 ,

где A m - амплитуда колебаний, вызванных m -й зоной.

Так как расстояния от двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на λ / 2, следовательно, возбуждаемые этими зонами колебания находится в противофазе. Поэтому волны от любых двух соседних зон почти гасят друг друга. Суммарная амплитуда в точке наблюдения есть

A = A 1 - A 2 + A 3 - A 4 + ... = A 1 - (A 2 - A 3) - (A 4 - A 5) - ... < A 1 .

Таким образом, суммарная амплитуда колебаний в точке P всегда меньше амплитуды колебаний, которые вызвала бы одна первая зона Френеля. В частности, если бы были открыты все зоны Френеля, то до точки наблюдения дошла бы невозмущенная препятствием волна с амплитудой A 0 . В этом случае можно записать:

так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, действие (амплитуда), вызванное всем волновым фронтом, равно половине действия одной первой зоны.

Итак, если отверстие в непрозрачном экране оставляет открытой только одну зону Френеля, то амплитуда колебаний в точке наблюдения возрастает в 2 раза (а интенсивность - в 4 раза) по сравнению с действием невозмущенной волны. Если открыть две зоны, то амплитуда колебаний обращается в нуль. Если изготовить непрозрачный экран, который оставлял бы открытыми только несколько нечетных (или только несколько четных) зон, то амплитуда колебаний резко возрастет. Например, если открыты 1, 3 и 5 зоны, то

A = 6A 0 , I = 36I 0 .

Такие пластинки, обладающие свойством фокусировать свет, называются зонными пластинками .

При дифракции света на круглом диске закрытыми оказываются зоны Френеля первых номеров от 1 до m . Тогда амплитуда колебаний в точке наблюдения будет равна

или A = A m + 1 / 2, так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Если диск закрывает зоны не слишком больших номеров, то A m + 1 ≈ 2A 0 и A ≈ A 0 , т. е. в центре картины при дифракции света на диске наблюдается интерференционный максимум. Это - так называемое пятно Пуассона , оно окружено светлыми и темными дифракционными кольцами.

Оценим размеры зон Френеля. Пусть, например, дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L = 1 м от препятствия. Длина волны света λ = 600 нм (красный свет). Тогда радиус первой зоны Френеля есть

Таким образом, в оптическом диапазоне вследствие малости длины волны размер зон Френеля оказывается достаточно малым. Дифракционные явления проявляются наиболее отчетливо, когда на препятствии укладывается лишь небольшое число зон:

Это соотношение можно рассматривать как критерий наблюдения дифракции . Если число зон Френеля, укладывающихся на препятствии, становится очень большим, дифракционные явления практически незаметны:

Это сильное неравенство определяет границу применимости геометрической оптики . Узкий пучок света, который в геометрической оптике называется лучом, может быть сформирован только при выполнении этого условия. Таким образом, геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики .

Выше был рассмотрен случай дифракции света от удаленного источника на препятствиях круглой формы. Если точечный источник света находится на конечном расстоянии, то на препятствие падает сферически расходящаяся волна. В этом случае геометрия задачи несколько усложняется, так как теперь зоны Френеля нужно строить не на плоской, а на сферической поверхности (рис. 3.8.4).

Расчет приводит к следующему выражению для радиусов ρm зон Френеля на сферическом фронте волны:

Все выводы изложенной выше теории Френеля остаются справедливыми и в этом случае.

Следует отметить, что теория дифракции (и интерференции) световых волн применима к волнам любой физической природы. В этом проявляется общность волновых закономерностей. Физическая природа света в начале XIX века, когда Т.Юнг, О.Френель и другие ученые развивали волновые представления, еще не была известна.

Дифракция и дисперсия - такие красивые и похожие слова, которые звучат как музыка для ушей физика! Как все уже догадались, сегодня мы говорим уже не о геометрической оптике, а о явлениях, обусловленных именно волновой природой света .

Дисперсия света

Итак, в чем заключается явление дисперсии света? В мы рассмотрели закон преломления света. Тогда мы не задумывались, а точнее - не вспоминали о том, что свет (электромагнитная волна) имеет определенную длину. Давайте вспомним:

Свет – электромагнитная волна. Видимый свет – это волны, имеющие длину в интервале от 380 до 770 нанометров.

Так вот, еще старина Ньютон заметил, что показатель преломления зависит от длины волны. Другими словами, красный свет, падая на поверхность и преломляясь, отклонится на другой угол, нежели желтый, зеленый и так далее. Эта зависимость и называется дисперсией .

Пропуская белый свет через призму, можно получить спектр, состоящий из всех цветов радуги. Это явление напрямую объясняется дисперсией света. Раз показатель преломления зависит от длины волны, значит, он зависит и от частоты. Соответственно, скорость света для разных длин волн в веществе также будет различна

Дисперсия света – зависимость скорости света в веществе от частоты.

Где применяется дисперсия света? Да повсюду! Это не только красивое слово, но и красивое явление. Дисперсия света в быту, природе, технике и искусстве. Вот, например, дисперсия красуется на обложке альбома группы Pink Floyd.

Дифракция света

Перед дифракцией нужно сказать про ее "подругу" - интерференцию . Ведь интерференция и дифракция света - это явления, которые наблюдаются одновременно.

Интерференция света – это когда две когерентные световые волны при наложении усиливают друг друга или наоборот ослабляют.

Волны является когерентными , если разность их фаз постоянна во времени, а при сложении получается волна той же частоты. Будет результирующая волна усилена (интерференционный максимум) или наоборот ослаблена (интерференционный минимум) - зависит от разности фаз колебаний. Максимумы и минимумы при интерференции чередуются, образуя интерференционную картину.

Дифракция света – еще одно проявления волновых свойств. Казалось бы, луч света всегда должен распространяться по прямой. Но нет! Встречая препятствие, свет отклоняется от первоначального направления как бы огибая преграду. Какие условия необходимы для наблюдения дифракции света? Собственно, это явление наблюдается на предметах любых размеров, но на больших предметах его наблюдать трудно и почти невозможно. Лучше всего это удается сделать на препятствиях, сопоставимых по размерам с длиной волны. В случае со светом - это очень маленькие препятствия.

Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного направления при прохождении вблизи преграды.

Дифракция проявляется не только для света, но и для других волн. Например, для звуковых. Или для волн на море. Отличный пример дифракции – это то, как мы слышим песню группы Пинк Флойд из проезжающей мимо машины, когда сами стоим за углом. Если бы звуковая волна распространялась прямо, она бы просто не достигла наших ушей, и мы бы стояли в полной тишине. Согласитесь, скучно. Зато с дифракцией гораздо веселее.

Для наблюдения явления дифракции используется специальный прибор – дифракционная решетка . Дифракционная решетка представляет собой систему препятствий, которые по размеру сопоставимы с длиной волны. Это специальные параллельные штрихи, выгравированные на поверхности металлической или стеклянной пластины. Расстояние между краями соседних щелей решетки называется периодом решетки или ее постоянной.

Что происходит со светом при прохождении дифракционной решетки? Попадая на решетку и встречая препятствие, световая волна проходит через систему прозрачных и непрозрачных областей, в результате чего разбивается на отдельные пучки когерентного света, которые после дифракции интерферируют друг с другом. Каждая длина волны отклоняется при этом на определенный угол, и происходит разложение света в спектр. В результате мы наблюдаем дифракцию света на решетке

Формула дифракционной решетки:

Здесь d – период решетки, фи – угол отклонения света после прохождения решетки, k – порядок дифракционного максимума, лямбда – длина волны.

Сегодня мы узнали, в чем чем заключается явления дифракции и дисперсии света. В курсе оптики очень сильно распространены задачи по теме интерференция, дисперсия и дифракция света. Авторы учебников очень любят подобные задачи. Чего нельзя сказать о тех, кому приходится их решать. Если Вы хотите легко справиться с заданиями, разобраться в теме, а заодно и сэкономить время, обратитесь к . Они помогут Вам справиться с любой задачей!

Дифракция

Изначально явление дифракции трактовалось как огибание волной препятствия , то есть проникновение волны в область геометрической тени. С точки зрения современной науки определение дифракции как огибания светом препятствия признается недостаточным (слишком узким) и не вполне адекватным. Так, с дифракцией связывают весьма широкий круг явлений, возникающих при распространении волн (в случае учёта их пространственного ограничения) в неоднородных средах.

Дифракция волн может проявляться:

• в преобразовании пространственной структуры волн. В одних случаях такое преобразование можно рассматривать как «огибание» волнами препятствий, в других случаях - как расширение угла распространения волновых пучков или их отклонение в определённом направлении;
• в разложении волн по их частотному спектру ;
• в преобразовании поляризации волн;
• в изменении фазовой структуры волн.

Наиболее хорошо изучена дифракция электромагнитных (в частности, оптических) и акустических волн, а также гравитационно-капиллярных волн (волны на поверхности жидкости).

Тонкости в толковании термина «дифракция»

В явлении дифракции важную роль играют исходные размеры области волнового поля и исходная структура волнового поля, которая подвержена существенной трансформации в случае, если элементы структуры волнового поля сравнимы с длиной волны или меньше её.

Например, ограниченный в пространстве волновой пучок имеет свойство «расходиться» («расплываться») в пространстве по мере распространения даже в однородной среде. Данное явление не описывается законами геометрической оптики и относится к дифракционным явлениям (дифракционная расходимость, дифракционное расплывание волнового пучка).

Исходное ограничение волнового поля в пространстве и его определённая структура могут возникнуть не только за счёт присутствия поглощающих или отражающих элементов, но и, например, при порождении (генерации, излучении) данного волнового поля.

Следует заметить, что в средах, в которых скорость волны плавно (по сравнению с длиной волны) меняется от точки к точке, распространение волнового пучка является криволинейным (см. градиентная оптика , градиентные волноводы, мираж). При этом волна также может огибать препятствие. Однако такое криволинейное распространение волны может быть описано с помощью уравнений геометрической оптики, и это явление не относится к дифракции.

Вместе с тем, во многих случаях дифракция может быть и не связана с огибанием препятствия (но всегда обусловлена его наличием). Такова, например, дифракция на непоглощающих (прозрачных), так называемых фазовых, структурах.

Поскольку, с одной стороны, явление дифракции света оказалось невозможным объяснить с точки зрения лучевой модели, то есть с точки зрения геометрической оптики, а с другой стороны, дифракция получила исчерпывающее объяснение в рамках волновой теории, то наблюдается тенденция понимать её проявление как любое отступление от законов геометрической оптики .

При этом следует заметить, что некоторые волновые явления не описываются законами геометрической оптики и, в то же время, не относятся к дифракции. К таким типично волновым явлениям относится, например, вращение плоскости поляризации световой волны в оптически активной среде, которое дифракцией не является.

Вместе с тем, единственным результатом так называемой коллинеарной дифракции с преобразованием оптических мод может быть именно поворот плоскости поляризации, в то время как дифрагированный волновой пучок сохраняет исходное направление распространения. Такой тип дифракции может быть реализован, например, как дифракция света на ультразвуке в двулучепреломляющих кристаллах, при которой волновые векторы оптической и акустической волн параллельны друг другу.

Ещё один пример: с точки зрения геометрической оптики невозможно объяснить явления, имеющие место в так называемых связанных волноводах, хотя эти явления также не относят к дифракции (волновые явления, связанные с «вытекающими» полями).

Раздел оптики «Оптика кристаллов», имеющей дело с оптической анизотропией среды, также имеет лишь косвенное отношение к проблеме дифракции. В то же самое время он нуждается в корректировке используемых представлений геометрической оптики. Это связано с различием в понятии луча (как направления распространения света) и распространения волнового фронта (то есть направления нормали к нему)

Отступление от прямолинейности распространения света наблюдается также в сильных полях тяготения. Экспериментально подтверждено, что свет, проходящий вблизи массивного объекта, например, вблизи звезды, отклоняется в её поле тяготения в сторону звезды. Таким образом, и в данном случае можно говорить об «огибании» световой волной препятствия. Однако, это явление также не относится к дифракции.

Частные случаи дифракции

Исторически в проблеме дифракции сначала рассматривались два крайних случая, связанных с ограничением препятствием (экраном с дыркой) сферической волны и это была дифракция Френеля , либо плоской волны на щели или системе отверстий - дифракция Фраунгофера

Дифракция на щели

Распределение интенсивности света при дифракции на щели

В качестве примера рассмотрим дифракционную картину возникающую при прохождении света через щель в непрозрачном экране. Мы найдём интенсивность света в зависимости от угла в этом случае. Для написания исходного уравнения используем принцип Гюйгенса .

Рассмотрим монохроматическую плоскую волну с амплитудой с длиной волны λ, падающую на экран с щелью ширины a .

пусть (x′,y′,0) - точка внутри разреза, по которому мы интегрируем. Мы хотим узнать интенсивность в точке (x,0,z). Щель имеет конечный размер в x направлении (от до ), и бесконечна в y направлении ([, ]).

Расстояние r от щели определяется как:

Дифракция на отверстии

Дифракция звука и ультразвуковая локация

Дифракция радиоволн и радиолокация

Исследованием дифракции радиоволн занимается геометрическая теория дифракции

Дифракционная решётка

Дифракционная решётка - оптический прибор, работающий по принципу дифракции света, представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на некоторую поверхность. Первое описание явления сделал Джеймс Грегори , который использовал в качестве решётки птичьи перья.

Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах и рентгеноструктурный анализ

Дифракция света на ультразвуке

Одним из наглядных примеров дифракции света на ультразвуке является дифракция света на ультразвуке в жидкости. В одной из постановок такого эксперимента в оптически-прозрачной ванночке в форме прямоугольного параллелепипеда с оптически-прозрачной жидкостью с помощью пластинки из пьезоматериала на частоте ультразвука возбуждается стоячая волна . В её узлах плотность воды ниже, и как следствие ниже её оптическая плотность , в пучностях - выше. Таким образом, при этих условиях ванночка с водой становится для световой волны фазовой дифракционной решёткой, на которой осуществляется дифракция в виде изменения фазовой структуры волн, что можно наблюдать в оптический микроскоп методом фазового контраста или методом тёмного поля .

Дифракция электронов

Дифракция электронов - процесс рассеяния электронов на совокупности частиц вещества, при котором электрон проявляет свойства, аналогичные свойствам волны. При выполнении некоторых условий, пропуская пучок электронов через материал можно зафиксировать дифракционную картину, соответствующую структуре материала. Процесс дифракции электронов получил широкое применение в аналитических исследованиях кристаллических структур металлов, сплавов, полупроводниковых материалов.

Брегговская дифракция

Дифракция от трехмерной периодической структуры, такой как атомы в кристалле называется дифракцией Брегга. Это похоже на то, что происходит, когда волны рассеиваются на дифракционной решётке. Брегговская дифракция является следствием интерференции между волнами, отражёнными от кристаллических плоскостей. Условие возникновения интерференции определяется законом Вульфа-Брегга:

,

D - расстояние между кристаллическими плоскостями, θ угол скольжения - дополнительный угол к углу падения, λ - длина волны , n (n = 1,2…) - целое число называемое порядком дифракции .

Брегговская дифракция может осуществляться при использовании света с очень маленькой длиной волны, такого как рентгеновское излучение, либо волны материи, такие как нейтроны и электроны , длины волн которых сравнимы или много меньше, чем межатомное расстояние. Получаемые данные дают информацию о межплоскостных расстояния, что позволяет вывести кристаллическую структуру. Дифракционный контраст, в электронных микроскопах и рентгеновских топографических устройствах, в частности, также является мощным инструментом для изучения отдельных дефектов и локальных полей деформации в кристаллах.

Дифракция частиц (нейтронов, атомов, молекул)

История исследований

Основы теории дифракции были заложены при изучении дифракции света в первой половине XIX века в трудах Юнга и Френеля . Среди других учёных, которые внесли значительный вклад в изучение дифракции: Гримальди , Гюйгенс , Араго , Пуассон , Гаусс , Фраунгофер , Бабине, Кирхгоф , Аббе , У. Г. Брэгг и У. Л. Брэгг , фон Лауэ , Роуланд, Зоммерфельд, Леонтович , Фок , Ван-Циттерт, Цернике (см. История оптики).

Обнаружение дифракции частиц (электронов) в 1927 году (опыт Дэвиссона и Джермера) сыграло большую роль в подтверждении существования волн де Бройля и в подтверждении концепции корпускулярно-волнового дуализма (идеи двойственной природы волн и частиц). В и XXI веках продолжились исследования дифракции волн на сложных структурах.

Дифракция в фотографии

Дифракцию можно наблюдать в фотографии : чрезмерное закрытие диафрагмы (относительного отверстия) приводит к падению резкости. Поэтому для сохранения оптимально резкого изображения на фотографии не рекомендуется полностью закрывать диафрагму. Нужно отметить, что для каждого объектива существует свои границы до которых стоит закрывать диафрагму, в большинстве случаев они равны f/11.

См. также

• Рассеяние волн
• История оптики

Примечания

Литература

• Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. Теория поля. - Издание 7-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 512 с. - («Теоретическая физика» , том II). - ISBN 5-02-014420-7
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. - М .. - Т. IV. Оптика.
• И. Г. Кондратьев, Г. Д. Малюжинец Дифракция волн // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин , А. М. Бонч-Бруевич , А. С. Боровик-Романов , Б. К. Вайнштейн , С. В. Вонсовский , А. В. Гапонов-Грехов , С. С. Герштейн , И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич , М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев , Б. Б. Кадомцев , И. С. Шапиро, Д. В. Ширков ; под общ. ред. А. М. Прохорова . - М .: Советская энциклопедия, 1988-1998.

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :