Элективный курс "Делимость чисел. Признаки делимости чисел"
Отношение делимости и его свойства
Делимость натуральных чисел
Как известно, вычитание и деление на множестве натуральных чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел а и b решается просто - достаточно установить (по записи чисел), что b < а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деления а на b. В результате этих поисков были открыты не только некоторые признаки делимости, но и другие важные свойства чисел; познакомимся с некоторыми из них.
В начальных курсах математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2, 3, 5 и другие.
Вообще знания о делимости натуральных чисел расширяют представления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять полученные ранее знания о способах доказательства, о свойствах отношений и др.
Отношение делимости и его свойства
Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a - bq.
В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.
Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.
В том случае, когда а делится на b, пишут: а b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».
Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5-делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.
Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.
Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.
Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если a b, тo b≤a.
Доказательство. Так как а b, то существует такое q N, что a=bq и, значит, a-b = bq-b = b· (q- 1). Поскольку а N, то q≥l. Тогда b· (q- 1) ≥0 и, следовательно, b≤a.
Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно . Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3,4, 6,9, 12, 18, 36}.
В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.
Определение. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.
Например, число 13 - простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.
Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.
Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4.
Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.
Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....
Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.
Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.
Доказательство . Для любого натурального а справедливо равенство а = а·1. Так как 1 N, то, по определению отношения делимости, а а.
Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е.
если a b и а≠b, то .
Доказательство . Предположим противное, т.е. что b а. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.
По условию a b и а≠b. Тогда, по той же теореме, b≤а.
Неравенства а ≤b и b ≤а будут справедливы лишь тогда, когда а=b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и поэтому если a b и а≠b, то .
Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если a b и b с, то а с.
Доказательство . Так как a b, то существует такое натуральное число q, что a - bq, а так как b с, то существует такое натуральное число р, что b= ср. Но тогда имеем: a=bq = (cp)q = c(pq). Число pq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а с.
Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а 1 , а 2 , ... , а n делится на натуральное число b, то и их сумма а 1 +а 2+ ...+ а n делится на это число.
Доказательство . Так как а 1 b, то существует такое натуральное число q 1 , что а 1= bq 1 . Так как a 2 b, то существует такое натуральное число q 2 , что а 2 = bq 2 . Продолжая рассуждения, получим, что если а n b, то существует такое натуральное число q n , что а n = bq n . Эти равенства позволяют преобразовать сумму а 1 +а 2 + ... + а n в сумму вида bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q 1 + q 2 + ... + q n обозначим буквой q. Тогда а 1 + а 2 + ... + a n = b(g 1 + q 2 + ... + q n)= bq, т.е. сумма а 1 + а 2 + ... + а n оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а 1 + а 2 + ... + a n делится на b, что и требовалось доказать.
Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.
Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа a 1 и а 2 делятся на b и а 1 > а 2 , то их разность а 1 - а 2 делится на b.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.
Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х N, делится на b.
Доказательство . Так как а b, то существует такое натуральное число q, что а = bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах = (bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x – b(qx) и, значит, ах = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости ах b, что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.
Например, произведение 24 – 976 - 305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.
Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.
Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.
Доказательство . Пусть s = а 1 + а 2 + ... + a n + с и известно,
что а 1 b, а 2 b ... a n b, но . Докажем, что тогда .
Предположим противное, т.е. пусть s b. Преобразуем сумму s к виду с = s - (а 1 + а 2 + ... + a n). Так как s b по предположению, (а 1 + а 2 + ... + a n) b согласно признаку делимости суммы, то по теореме о делимости разности с b. Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, .
Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34 2, 376 2,124 2, но .
Теорема 9. Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то ab делится на mn.
Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.
Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и я делится на b.
Доказательство . Так как ас делится на bс, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а =bq, т.е. а b.
Признаки делимости
Рассмотренные в п. 88 свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3,4, 5, 9.
Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.
Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.
Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 , где а n , a n-1 ,..., а 1 , принимают значения 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а n ≠ 0 и а 0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х 2.
Так как 10 2, то 10 2 2, 10 3 2, ..., 10 n 2 и, значит, (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. По условию а 0 тоже делится на 2, и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2.
Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2,4, 6, 8.
Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10+а в таком виде:
а о = х-(а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а о 2, поскольку х 2 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.
Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.
Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.
Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.
Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 и две последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х 4.
Так как 100 4, то (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 4. По условию, а 1 ·10 + а 0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.
Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.
Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 в таком виде: а 1 ·10 + а о = х- (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2). Так как х 4 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2) 4, то по теореме о делимости разности (а 1 ·10 + а о) 4 Но выражение а 1 ·10 + а 0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.
Теорема 1 (признак делимости суммы). Если каждое слагаемое делится на нат. число с, то и сумма чисел делится на с. Док-во: пусть а⋮с и в⋮с. Тогда существуют нат.числа q 1 и q 2 такие, что а=сq 1 и в=сq 2 . Имеем: а+в=сq 1 +cq 2 = c(q 1 +q 2). Так как числа q 1 и q 2 натуральные, то q 1 +q 2 также число натуральное. Тогда из равенства а+в=с(q 1 +q 2) следует, что (а+в)⋮с. П: Числа 96 и 48 делятся на 12,значит,их сумма 96+48=144 также делится на 12. Утверждение, обратное данной теореме неверно,т.е. если двух чисел a и b делится на некоторое число с, то это не значит, что каждое слагаемое, из которых состоит эта сумма, делится на число с. Теорема 2 (о делимости разности). Если каждое из чисел а и в делится на натуральное число с и в ≤ а, то разность этих чисел делится на с. Теорема 3 (о делимости произведения). Если хотя бы один из множителей делится на число с, то и произведение делится на это число с. Док-во. Пусть а ⋮ с.Тогда по определению отношения делимости существует натуральное число q такое, что а= сq. Рассмотрим число а ∙ в = (сq) ∙ в =с ∙ (qв). Поскольку число qв-натуральное, то из последнего равенства следует, что (ав) ⋮ с. Теорема4 (о делимости произведения). Если в произведении ав двух множителей первый множитель делится на натуральное число с, а второй множитель делится на натуральное число d, то это произведение делится на сd. Док-во.По условию a=cq 1 и b=dq 2 ,где q 1 , q 2 ∈ N. Тогда ab =(cq 1)(dq 2) =с (q 1 (dq 2)=c ((q 1 ∙ d) q 2)= с ((dq 1) ∙ q 2)= c (d(q 1 q 2))= (cd)(q 1 ∙q 2), где q 1 ∙ q 2 ∈ N. Следовательно,(ав) ⋮ (с d). П: т.к.число 30 делится на 5, а число 14 делится на 7, то произведение 30 и 14 делится на произведение 5 и7, т.ею(30 14) делится на(5 7). Действительно, 30 14=420; 5 7=35, и 420:35=12,т.е.420 35.
21.Признак делимости паскаля .Теорема: нат.число а, заданное в десятичной системе счисления, делится на натуральное число в тогда и только тогда, когда на в делится сумма произведений каждой цифры числа а на остатки от деления на в соответствующих разрядных единиц (1,10,10 2 ,10 3 , …,10 п). Док-во: пусть а =а п а п-1 …а 2 а 1 а 0 . Пусть при делении на в числа 10, 10 2 , 10 3 , …, 10 п дают остатки r 1 , r 2 , r 3 , …, r п-1 , r п. По теореме о делении с остатком имеем: 10=вq 1 +r 1 , 10 2 =вq 2 +r 2 , 10 3 =вq 3 +r 3, …, 10 п-1 =вq п-1 +r п-1 , 10 п =вq п +r п. Преобразуем данное число а к виду: а=а п а п-1 …а 2 а 1 а 0 = а п 10 п +а п-1 10 п-1 +…+а 2 10 2 +а 1 10 1 +а 0 = а п (вq п +r п)+ а п-1 (вq п-1 +r п-1)+ …+ а 2 (вq 2 +r 2)+ а 1 (вq 1 +r 1) +а 0 = (а п q п +а п-1 q п-1 +… +а 2 q 2 +а 1 q 1) в+ (а п r п +а п-1 r п-1 + …+ а 2 r 2 + а 1 r 1 +а 0). Видим, что первое слагаемое делится на в, т.к.содержит мн.в. Для того чтобы данное число а делилось на в, необходимо и достаточно, чтобы и второе слагаемое делилось на в,т.е.на в должно делиться число с=а 0 +а 1 r 1 + а 2 r 2 + …+ а п-1 r п-1 +а п r п. Это число и есть сумма произведений каждой цифры числа а на остатки от деления на в соответствующих разрядных единиц. П: покажем, что число 65345 делится на 7. Найдём остатки от деления на 7 разрядных единиц 10 1 , 10 2 , …, 10 5 . Если остаток будет близок к числу 7, то будем заменять его недостатком, то есть числом единиц, недостающих для делимости нацело на 7. 10 1:7, r 1 =3; 10 2:7, r 2 =2; 10 3:7, r 3 = -1; 10 4:7, r 4 =-3. Тогда с=5+4 3+3 2+ 5 (-1)+ 6 (-3)= 5+12+6-5-18=0. Т.к.0 делится на 7, то и число 65345 делится на 7.
Понятие о рациональном числе. Отношения между множествами натуральных, целых и рациональных чисел .
Рациональное число - число, представляемое обыкновенной дробью , числитель м - целое число, а знаменатель п - натуральное число, к примеру 2/3. Множество положительных рациональных чисел обозначают Q + . Покажем, что все нат.числа содержатся в этом множестве, т.е.что N c Q + .Пусть длина отрезка а при единице длины е выражается нат.числом м. Разобьём отрезок е на п равных частейю Тогда п-я доля отрезка е будет укладываться в отрезке а м п раз, т.е.длина отрезка а будет выражаться дробями вида . Но мн.этих дробей есть положит.рациональное число. Следовательно, длина отрезка а, с одной стороны, выражается нат.числом м, а с другой- полож.рациональным числом . Но это должно быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида яв-ся записями нат.числа м. Из этого следует, что любое нат.число м можно представить в виде дроби , следовательно N c Q + . Все нат.числа содержатся в мн.полож.рац.чисел. Числа, которые дополняют мн.нат.чисел до мн.полож.рацион.чисел, называют дробными числами.
Сложение и вычитание рациональных чисел. Законы сложения .
Суммой рациональных чисел и называют рациональное число . Т.к.любые две дроби могут быть приведены к общему знаменателю, то сумма рациональных чисел и будет равна: + = + = . Сумма рациональных чисел всегда существует и единственная. Теорема: операция сложения рациональных чисел обладает коммутативным и ассоциативным свойствами, т.е. 1. ( а,в Q) а+в= в+а (коммутативность сложения); 2. ( а,в,с Q)(a+в)+с= а+(в+с) (ассоциативность сложения). Законы сложения: переместительный- а+в=в+а для любых а,в Q + ; сочетательный- (а+в)+с= а+(в+с) для любых а, в, с Q + . Разность дробей и называется дробь такая, что + = . Согласно определению - = + = . Выведем правило вычитания дробей, т.е.найдём значение дроби . Т.к. + = , то = . Отсюда: (py+xq) n= (qy) m или pyn+xqn=qум, х(qп)= у(qм-pn). Из последнего равенства будем иметь: = . Таким образом, получили: - = . В частности, - = . Для рациональных чисел верно утверждение: разность рациональных чисел всегда существует и единственная. Это значит, что каких бы два рациональных числа ни были даны, разность их всегда можно найти, т.е.вычитание обыкновенных дробей всегда выполнимая операция.
Отношение порядка на множестве рациональных чисел. Свойства множества рациональных чисел (бесконечность, упорядоченность, счётность, плотность) .
Mq np или mq np. Для целых чисел это также верно: а в или а 1 в 1. П: сравним дроби и . 19 27=513 и 23 25= 575 и сравним их. Т.к. 513 575, то . Теорема: отношение «меньше» на мн.рацион.чисел транзитивно, асимметрично и антирефлексивно, т.е. 1) и , то - транзитивность; 2) , то неверно, что - асимметричность; 3)неверно, что - антирефлексивность. Из теорем следует, что отношение «меньше» на множестве Q рациональных чисел яв-ся отношением строгого линейного порядка, а само мн.Q- линейно упорядоченным множеством. Свойства мн.рацион.чисел : 1.Мн.Q рациональных чисел счётное, т.е.его элементы можно пронумеровать с помощью нат.чисел.
N: 1,2, 3, 4, 5, 6.
Из графика видим, что Q N, значит, мн.Q счётное.
2.Мн.Q рациональных чисел бесконечное. Это вытекает из того, что Q N, а мн.N бесконечное. 3.Во мн.положительных рац.чисел нет наименьшего числа. 4.Мн.Q рац.чисел плотное. Это значит, что между любыми двумя различными рац.числами а и в мн.Q лежит бесконечное мн.рац.чисел. 5.Каждому рац.числу соответствует единственная точка координатной прямой, но не каждой точке будет соответствовать рац.число. Соответствие между мн.Q рац.чисел и мн.точек координатной прямой не яв-ся биективным.
Понятие иррационального числа. Множество положительных действительных чисел .
Иррациональное число- это число, которое выражается бесконечной десятичной непериодической дробью. Иррац.числа получаются не только при извлечении корней из некоторых чисел ( ; ), не только при измерении длин отрезков, но и при решении практических задач, например, при измерении площади, вычислении отношения длины окружности к её диаметру (). П: числа 0,0100100010000100…; 45,3232232223222232…; =3,141592…; =1,732050…; =1,414213… яв-ся иррац., т.к.они яв-ся бесконечными непериодическими десятичными дробями (в них невозможно выделить период). Мн.полож.иррац.чисел обозначают I + . Объединение мн.полож.рац.чисел и мн.полож.иррац.чисел образует мн.полож.действительных чисел, которое обозначается R + , т.е. R + =Q + I + , причём Q + c R + , I + c R + , Q + I + = . Мн. R + делится на два класса: 1.класс бесконечных периодических десятичных дробей; 2.класс бесконечных непериодических десятичных дробей. Конечные десятичные дроби можно также считать бесконечными периодическими дробями с периодом равным 0. Н: 0,4=0,40000… Кроме того, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической дроби с периодом, равным 9.
Упорядоченность множества положительных действительных чисел. Свойства множества положительных действительных чисел .
Отношение «меньше» на мн.R + яв-ся отношением строгого линейного порядка, это значит, оно асимметрично (если х у, то у х), транзитивно (если х у, у z, то х z) и связно (либо х=у, либо х у, либо у х). Из этого следует, что мн.R + положительных действительных чисел яв-ся упорядоченным множеством. Его элементы можно упорядочить с помощью отношения «меньше». Мн. R + плотно в себе, т.е.между любыми двумя действительными числами лежит бесконечное мн.действительных чисел. Н: между числами 1,2 и 1,3 лежат числа 1,21; 1,211 и т.д. Мн. R + яв-ся непрерывным, т.е.если числовое множество Х располагается слева от числового мн.Y, то найдётся хотя бы одно число, которое разделяет эти множества. Мн.полож.действ.чисел несчётно. Док-во (методом от противного): докажем, что ни при каком упорядочивании мн. R + пронумеровать его числа невозможно. Предположим, что элементы мн. R + удалось пронумеровать: 1 м 1 ,а 1 а 2 а 3 …; 2 м 2 , в 1 в 2 в 3 …; 3 м 3 ,с 1 с 2 с 3 …; …., где м i - целая часть числа, буквы а,в,с,… представляют собой десятичные знаки после запятой. Предположим, что эта последовательность дробей описывает все действительные числа. Возьмём число z=0, авс…, где а а 1 , в в 2 , с с 3 и т.д. Это новое число z отличается от первого числа десятыми долями, от второго- сотыми, от третьего- тысячными и т.д. Оно отличается от п-го числа в последовательности п-ой цифрой дробной части. Значит, появилось новое число z, которое не пронумеровали. Это противоречит предположению о том, что пронумеровали все действительные числа. Таким образом, доказано, что мн. R + несчётное. Мн. R + бесконечное(доказывается методом от противного).
Арифметические операции на множестве всех действительных чисел .
Суммой двух дейст.чисел х и у называется дейст.число, которое удовлетворяет след.условиям: 1)сумма полож.чисел есть число положительное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых: |х+у|=|х|+|у|; 2)сумма отриц.чисел есть число отрицательное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых: (-х)+(-у)=-(х+у); 3)сумма двух чисел с разными знаками есть число, которого совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль, а модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей слагаемых: если х у, то х+(-у)=х-у; если х у, то х+(-у)= -(у-х). Операции сложения во мн.R коммутативна ( х,у R) х+у=у+х и ассоциативна ( х,у,z R)(x+y)+z= x+(y+z). Число 0 яв-ся нейтральным элементом относительно сложения, т.е.х+0=0+х=х. Операция вычитания во мн.R определяется как операция, обратная сложению. Т.к.для каждого в R существует число- в такое, что в+(-в)=0, то вычитание равносильно сложению с числом-в, т.е.а-в=а+(-в). Произведением двух действительных чисел х и у называется дейст.число z, которое удовлетворяет условиям: 1)модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел: |х у|=|х|∙|у|; 2)знак в произведении двух чисел положителен, если знаки множителей одинаковые; 3)знак в произведении двух чисел отрицателен, если знаки множителей разные. Операция умножения во мн.R коммутативна ( х,у R)x∙y=y∙x; ассоциативна ( x,y,z R)(x∙y) ∙z=x∙(y∙z); дистрибутивна ( x,y,z . 1-нейтральный элемент относительно умножения: х∙1=1∙х=х; 0- поглощающий элемент относительно умножения: х∙0=0∙х=0. Деление дейст.чисел можно рассматривать как действие, обратное умножению, т.к.х:у=х ∙ , где у Деление на 0 во множестве R невозможно.
Длина отрезка и её измерение .
Длиной отрезка называется величина, определенная для каждого отрезка так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков. В математике рассматривают две взаимно обратные задачи, связанные с длиной отрезка: измерение длины отрезка а с помощью отрезка е, выбранного за единичный отрезок, и построение отрезка а по заданной его длине. Св-ва длины отрезка 1.При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действительным числом, и для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается зтим числом.2.Если два отрезка равны, то числовые значения их длин также равны, и наоборот: если числовые значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки. a=b (a) = (b). 2.Если данный отрезок состоит из конечного числа отрезков, числовое значение его длина равно сумме числовых значений длин составляющих отрезков, и наоборот: если числовое значение длины отрезка равно сумме числовых значений нескольких отрезков, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков. c= a+ b (c) = (a) + (b). Покажем это. Пусть a = e, b= e. a+b = ( + 4. Если длины отрезков а и в такие, что в = ха, где х – положительное действительное число, то, чтобы найти числовое значение длины отрезка b при единице измерения е, достаточно найти произведение число х и числового значения длины отрезка а при единице е. b = xa (b) = x (a). Пусть b = xa и a = e, тогда в=х е= (х )е. 5.При замене единицы длины значение длины отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица меньше (больше) старой. Пусть даны две единицы длины е и е 1 такие, что е 1 =ке. Это значит, что новая единица в к раз больше старой. Тогда если а= е, то при переходе к новой единице будем иметь: а= 1 = е 1 . Число в к раз меньше числа . П: 14м=14 1м=14 =(14 1400 см. Полученное число 1400 в 100 раз больше числа 14, т.к.новая единица длины- сантиметр-в 100 раз меньше метра.
Площадь фигуры и её измерение .
Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:1)равные фигуры имеют равные площади; 2)если фигура состоит из конечного числа фигур, то её площадь равна сумме их площадей. Чтобы измерить площадь фигуры, надо иметь единицу площади. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной е. Площадь квадрата со стороной е обозначается е 2 . Н., S=20см 2 при единице площади1 см 2 . Измерение площади фигур с помощью палетки. Палетка-это сетка квадратов, нанесённая на прозрачный материал. Измерение с помощью палетки яв-ся приблизительным и вычисляется по формуле: S , где S 1 - площадь внутренней системы квадратов, S 2 - площадьсистемы квадратов, которые целиком покрывают фигуру. Другие способы измерения площадей фигур состоят в применении формул дляих вычисления: 1.Площадь прямоугольника: S=ab, где a- длина, b- ширина прямоугольника. 2.Площадь параллелограмма: S=ah, где a- длина стороны параллелограмма, h- его высота. 3.Площадь треугольника: S= ah, где a- длина стороны треугольника, h- его высота. 4.Площадь ромба: S= d 1 d 2 , где d 1 и d 2 - длины диагоналей ромба. 5.Площадь трапеции: S= , где a и b- длины оснований трапеции, h- её высота. 6.Площадь круга: S= 2 , где R- длина радиуса круга. Площади плоскихфигур обладают св-ми: а)площади равных фигур при одной и той же единице площади равны между собой. б)если фигура F состоит из фигур F 1 ,F 2 ,…,F n , то значение площади фигуры F равно сумме площадей фигур F 1 , F 2 ,…, F п при одной и той же единице площади. в)при замене единицы измерения площади числовое значение площади фигуры увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько раз новая единица измерения меньше (больше) старой.П: 12 м 2 =12 2 = 12 2 = 1200дм 2 . Первоначальную единицу измерения 1м 2 уменьшили в 100 раз, а значение площади увеличилось в 100 раз. Это связано с тем, что 1м 2 =100дм 2 , а 1дм 2 =0,01м 2 .
Оборудование: доска, таблица, учебная литература, компьютер, проектор, экран.
Ход урока
1. Организационный момент
2. Актуализация опорных знаний
Математический диктант
| 1 вариант | 2 вариант |
а) если число а делится на 6, то оно делится на 12*; б) если число а не делится на 6, то оно не делится на 12 |
1. Какие из высказываний верные: а) если число а делится на 12, то оно делится на 6; б) если число а не делится на 12, то оно не делится на 6 |
а) любое число, кратное 90 |
2. Пусть F – множество чисел,
кратных 33. Принадлежит ли множеству F: а) любое число, кратное 11 |
| 3. Найдите пересечения: а) множества четных чисел и множества чисел, кратных 4 |
3. Найдите пересечения: а) множества чисел, кратных 3, и множества чисел, кратных 7 |
3. Усвоение новых знаний
Учащиеся делятся на 4 группы. Каждая группа изучает одно из свойств, доказательство этого свойства.
Рассмотрим некоторые свойства делимости суммы и произведения.
1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Доказательство проведем для трех слагаемых. Если числа a, b , и c делятся на p, то a=pk, b=pm, c=pn, где k,m и n – целые числа. Тогда
a+b+c=pk+pm+pn=p(k+m+n),
и так как k +m+n – целое число, то a+b+c делится на p.
В случае произвольного числа слагаемых прием доказательства остается тем же. Очевидно, что обратное утверждение неверно.
2. Если два целых числа делятся на некоторое число, то их разность делится на это число.
Это свойство следует из предыдущего, так как разность a-b всегда можно представить в виде суммы a+(-b) .
3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.
Пусть числа a и b делятся на p, а число c не делится на p. Докажем, что сумма a+b+c не делится p. Предположим противное: пусть a+b+c делится на p. Тогда в разности (a+b+c)-(a+b) уменьшаемое делится на p по предположению, а вычитаемое делится на p по свойству 1, и поэтому по свойству 2 разность делится на p. Однако эта разность равна c и на p по условию не делится. Мы пришли к противоречию. Следовательно, сделанное нами предположение неверно и сумма a+b+c делится на р, что и требовалось доказать.
Заметим, что так как разность a-b можно рассматривать как сумму a+(-b), то доказанные свойства суммы относятся к любой алгебраической сумме чисел.
4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то произведение делится на это число.
Если а делится на с, то a=ck, где k –целое число. Тогда ab=(ck)b т.е ab=c(kb), причем kb – целое число, так как произведение целых чисел является целым числом. Значит ab делится на с.
При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел. Например:
Одно из п последовательных целых чисел делится на п;
Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;
Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;
Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.
Решение задач с применением свойств делимости суммы и произведения.
Пример 1
Докажите, что сумма 333 555 + 555 333 делится на 37.
333 555 + 555 333 = (3*111) 555 +(5*111) 333 = 111*(3 555 *111 554 + 5 333 *111 332). Так как 111 делится на 37, то данное выражение делится на 37.
Пример 2
Выясним, принадлежит ли графику уравнения 15х + 25 y= 114 хотя бы одна точка, координатами которой являются целые числа.
Допустим, что график проходит через точку М (а; в), где а и в целые числа. Тогда верным является равенство 15а + 25в =114. В левой части этого равенства записана сумма, которая делится на 5, так как каждое слагаемое 15а и 25в делятся на 5. ТО число 114 на 5 не делится. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и на графике уравнения 15х + 25y = 114 нет ни одной точки с целочисленными координатами.
Пример 3
Выясним, может ли целое число а, не равное нулю и не являющееся делителем 240, быть корнем уравнения 17х 3 –10х 2 -6х + 240 =0.
Допустим, что а – целый корень уравнения. Тогда верно равенство
17а 3 – 10а 2 – 6а + 240 =0.
Левая часть представляет собой сумму, в которой каждое слагаемое, кроме одного, делится на а, и поэтому эта сумма не делится на а. Правая часть этого равенства делится на а, так как 0 делится на любое число, отличное от нуля. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и число а не может быть корнем данного уравнения.
Пример 4
Докажем, что если n - простое число, большее чем 3, то разность n 2 - 1 делится на 24.
Имеем n 2 - 1 =(n-1)(n+1) . Из трех последовательных чисел n-1, n , n+1 хотя бы одно делится на 3. Однако число n на 3 не делится, значит, на 3 делится одно из чисел n-1 и n+1и, следовательно, их произведение (n-1)(n+1). Из условия ясно, что число n нечетное. Значит, n-1 и n+1 – два последовательных четных числа. Одно из таких чисел делится на 2, а другое - на 4, и поэтому их произведение делится на 8.
Итак, разность n 2 -1, где n – простое число и n>3, делится на 3 и на 8. А так как 3 и 8 взаимно простые, то эта разность делится на 24.
Решение №108, 110, 111(а),116(а), 119, 123.
4. Подведение итогов
5. Домашнее задание
Понятие отношения делимости
Определение. Число а делится на число в тогда и только тогда, когда существует такое число q, что а = в × q. а в ( q N 0) [а = вq].
Обозначают: а в. Читают: «число а кратно числу в», «число в – делитель числа а», «а кратно в».
Равенство а=вq называют формулой кратности числа а числу в.
Число а, кратное 2, называют четным. Общий вид четного числа: а = 2n, n N 0 .
Число, кратное 3 имеет формулу: а = 3n, n N 0 .
Определение. Отношение делимости на множестве N 0 N содержит те и только те пары чисел (а, в), у которых первая координата кратна второй. Обозначают: « ».
« » = {(а, в)| (а, в) N 0 N а в}.
Если отношение делимости обозначить , то N 0 N ={(а, в)| (а, в) N 0 N а=вq}.
Теорема. Делитель в данного числа а не превышает этого числа, то есть, если а в в а.
Доказательство. Так как а в, то ( q N 0) [а = вq] а – в=вq-в=в(q – 1), так как q N q 1.
Тогда в (q – 1) 0 в а. Из определения отношения делимости и равенства а = 1 × а, следует, что 1 является делителем для любого натурального числа.
Следствие. Множество делителей данного числа конечно.
Например, делители числа 18 является конечное множество: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Свойства отношения делимости
1. Отношение делимости рефлексивно, то есть любое натуральное число делится само на себя: ( а N) [(а,а) ], то есть а: а = 1.
Доказательство. ( а N)[а = а × 1] по определению отношения делимости а: а.
2. Отношение делимости антисимметрично, то есть для различных чисел а и в из того, что а в, следует, что в не кратно а. ( а, в N 0 N)[а в а в ].
Доказательство. Допустим, что в а, тогда в а. Но по условию а в, так как а в.
Неравенства в а а в истины только в том случае, если а = в. пришли к противоречию с условием. Следовательно, допущение, что в а Л. Таким образом, отношение делимости антисимметрично.
3. Отношение делимости транзитивно. ( а,в,с N 0 N)[а в в с а с].
Доказательство. Если а в ( q N)[а = вq] (1) Из того, что в с ( t N)[в = сt] (2)
Подставим в = сt в равенство (1), получим: а = (сt)q = c(tq), t,q N tq N tq = р а = ср, р N. А это значит, что а с.
Признаки делимости. Делимость суммы, разности, произведения
Определение. Признаком делимости называется предложение, в котором доказывается как можно предсказать делимость одного числа на другое, не выполняя деления этих чисел.
Теорема (признак делимости суммы). Если числа а и в делится на число n, то их сумма делится на это число, ( а,в, n N 0 N)[а n в n (а + в) n].
Доказательство. Из того что а n в n (по определению отношения делимости)
а=nq 1 (1), q 1 N. в=nq 2 (2), q 2 N. Преобразуем сумму (а + в) к виду:
а + в = nq 1 + nq 2 = n (q 1 + q 2) = nq,q = q 1 + q 2 . а + в = nq.
Следовательно, по определению отношения делимости, что (а + в) n.
Теорема (признак делимости разности). Если числа а и в делятся на число n и а в, то их разность а – в делится на число n, то есть
( а,в,n N 0 N)[а n в n а в (а – в) n].
Теорема (признак делимости произведения). Если один из множителей произведения делится на число n, то и все произведение делится на число n.
( а,в,n N 0 N)[а n (ав) n].
Доказательство. Из того, что а n а = nq (1). Умножим обе части равенства (1) на в N, получим: ав = nqв (по ассоциативности умножения) ав = n(qв) = nt, где t = qв ав = nt. А это значит, что ав n (по определению отношения делимости). Таким образом, для делимости произведения на число достаточно чтобы на данное число делился хотя бы один из множителей этого произведения.
Теорема. Если в произведении ав множитель а делится на натуральное число m, а множитель в делится на натуральное число n, то ав делится на mn.
( а,в,m,n N)[а m в n ав mn].
Доказательство. Из того, что а m а = mq 1 , q 1 N; в n в = nq 2 , q 2 N
ав = mq 1 × nq 2 , = mn(q 1 × q 2) = mnq, q 1 × q 2 = q N. ав = mnq ав mn.
Теорема (признак делимости на 2). Для того, чтобы число х делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8.
Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, то есть:
х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 , где а n , a n –1 , …, а 1 – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а n 0, а 0 – принимает значения 0, 2, 4, 6, 8.
Докажем, что число х 2. Так как 10 2, то любая степень числа 10 2. Десятичную запись числа х представим в виде: х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10) + a 0
I слагаемое II слагаемое
В этой сумме первое слагаемое по признаку делимости суммы делится на 2. Второе слагаемое а 0 2 (по условию). Следовательно, по признаку делимости суммы на число х делится на 2.
Обратно, если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8.
Запишем число х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 в виде: а 0 = х – (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10).
В этой разности число х 2 (по условию), вычитаемое (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10) 2 (по признаку делимости суммы). Следовательно, по теореме о делимости разности а 0 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.
Признак делимости на 2. На 2 делятся те и только те числа, в разряде единиц которых содержится число, делящееся на 2 или на 2 делятся те и только те числа, десятичная запись которых оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.
Теорема (признак делимости на 5). Для того, чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.
Лемма . ( n N) .
Доказательство. Так как 100 = 4 × 25, то по признаку делимости произведения
100 4. Тогда ( n N n > 1) 10 n = 100 × 10 n–2 и по признаку делимости произведения 10 n 4.
Теорема (признак делимости на 4). Натуральное число х делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры его десятичной записи образуют двузначное число, делящееся на 4.
Пусть х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 и пусть десятичная запись двух последних цифр a 1 10 + a 0 выражает число , которое делится на 4.
Доказательство. Представим число х в виде суммы двух слагаемых:
х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) + (а 1 10 + а 0),
I слагаемое II слагаемое
где первое слагаемое, по доказанной выше Лемме, делится на 4, второе слагаемое делится на 4 по условию. Следовательно, согласно признака делимости суммы на число, число х делится на 4.
Обратно, если число х 4, то – двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, делится на 4.
По условию х 4. Докажем, что (а 1 10 + а 0) 4.
Доказательство. Десятичная запись числа х имеет вид:
х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+а 2 10 2 + a 1 10 + a 0 , представим число х в виде суммы двух слагаемых:
х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) + (а 1 10 + а 0) и запишем равенство в виде:
х – (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) = а 1 10 + а 0 , где х 4 (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) 4 (по лемме).
Следовательно, по признаку делимости разности а 1 10 + а 0 4. выражение а 1 10 + а 0 = – есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.
Признак делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа, две последние цифры десятичной записи которых образуют число, делящееся на 4.
Теорема. Для того чтобы число х делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы на 25 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.
Доказывается аналогично.
Признак делимости на 25. На 25 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры в записи числа 00, 25, 50, 75.
Лемма. ( n N) [(10 n – 1) 9].
Докажем методом математической индукции.
1. Проверим справедливость утверждения для n = 1,
имеем: 10 1 – 1 = 9 9 9. А(1) И.
Следовательно, лемма доказана, то есть (10 n – 1) 9.
Теорема (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делалась на 9.
Пусть х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 (1), где где а n , a n –1 , …, а 1 , а 0 – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а n 0 и (а n + a n –1 + … + а 1 + а 0) 9.
Докажем, что число х 9. Доказательство. Преобразуем сумму (1), прибавив и вычтя из нее выражение а n + a n –1 + … + а 1 + а 0 , получим:
х = а n 10 n + a n–1 10 n–1 + …+a 1 10 + a 0 + а n – a n + a n – 1 – a n – 1 + …+ a 1 – a 1 + a 0 – a 0 =
= (а n 10 n – a n) + (a n–1 10 n–1 – a n – 1) + … + (a 1 10 – a 1) + (a 0 – a 0) =
=а n (10 n – 1) + a n–1 (10 n–1 – 1) + … + a 1 (10 –1) + (а n + a n–1 + … + а 1 + а 0). 9, то есть сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9. 3 (по признаку делимости произведения), второе слагаемое 10 k – 1 3 (по допущению индукции). Следовательно, по признаку делимости суммы вся сумма делится на 3.
Таким образом, А (1) И А(k) И А(k + 1) И. Следовательно, (10 n – 1) 3
Признак делимости на 3. На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-08-26
