Для чего нужна абсолютная погрешность. Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью приближенного числа называется модуль разности между этим числом и его точным значением. . Отсюда следует, что заключено в пределах или .
Пример 1.
На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет |1300 - 1284|=16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет |1280 - 1284| = 4.
Относительной погрешностью
приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности …
приближенного числа к модулю значения числа 
.
Пример 2
. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет |200 - 197| = 3. Относительная погрешность равна 3/|197| или 1,5 %.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая - 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈1,4%.
В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность – 1,4 %.
Абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта») или D a
; относительная погрешность - греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой А, то δ = Δ/|А|.
Значащей цифрой приближенного числа А называется всякая цифра в его десятичном представлении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда
Пример. А= 0,002080. Здесь только первые три нуля не являются значащими.
n первых значащих цифр приближенного числа А являются верными , если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого n – й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными.
Пример. Если в числе a = 0,03450 все цифры верные, то .
| Правила приближенных вычислений | ||
| понятие | определение | пример или примечание |
| Приближенные вычисления | Вычисления, производимые над числами, которые известны нам с определённой точностью, например, полученными в эксперименте. | Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого. И наоборот. |
| Погрешности | Разница между точным числом а и его приближенным значением А называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | а — А | < D, то величина D называется абсолютной погрешностью приближенной величины А. Отношение D /|А| = δ называется относительной погрешностью ; последнюю часто выражают в процентах. | 3,14 является приближенным значением числа а , погрешность его равна 0,00159…, абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а относительную погрешность δ равной 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%. |
| Значащие цифры | все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. | Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52438 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 . 10 2 или 0,524 . 10 5 . Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. Если число А = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что δ = 0,1%, то a имеет 3 верных знака, т.е. А = 47,5 |
| Округление | Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. | При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5 , то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. |
| Действия над приближенными числами | Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Число значащих цифр результата можно вычислить при помощи следующих правил: 1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков. 2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр. |
Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. При этом неточными могут оказаться и те цифры, которые получены действиями над точными цифрами данных чисел.
Пример 5. Перемножаются приближенные числа 60,2 и 80,1. Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближенных лишь сотыми, тысячными и т. д. долями. В произведении получаем 4822,02. Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц. Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,25 и 80,14. Тогда точное произведение будет 4828,435, так что цифра единиц в приближенном произведении (2) отличается от точной цифры (8) на 6 единиц.
Теория приближенных вычислений позволяет:
1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;
2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;
3) рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.
1. Как определять погрешности измерений.
Выполнение лабораторных работ связано с измерением различных физических величин и последующей обработкой их результатов.
Измерение - нахождение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений.
Прямое измерение - определение значения физической величины непосредственно средствами измерения.
Косвенное измерение - определение значения физической величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми прямыми измерениями.
Введем следующие обозначения:
А, В, С, ... - физические величины.
А пр - приближенное значение физической величины, т. е. значение, полученное путем прямых или косвенных измерений.
ΔА - абсолютная погрешность измерения физической величины.
ε - относительная погрешность измерения физической величины, равная:
Δ И А - абсолютная инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора (погрешность средств измерения; см. табл. 1).
Δ 0 А - абсолютная погрешность отсчета (получающаяся от недостаточно точного отсчета показаний средств измерения); она равна в большинстве случаев половине цены деления, при измерении времени - цене деления секундомера или часов.
Таблица 1
Абсолютные инструментальные погрешности средств измерений
| № | Средства измерения | Предел измерения | Цена деления | Абсолютная инструментальная погрешность |
| 1 | Линейка | |||
| ученическая | до 50 см | 1 мм | ± 1 мм | |
| чертежная | до 50 см | 1 мм | ± 0,2 мм | |
| инструментальная (стальная) | 20 см | 1 мм | ± 0,1 мм | |
| демонстрационная | 100 см | 1 см | ± 0,5 см | |
| 2 | Лента измерительная | 150 см | 0,5 см | ± 0,5 см |
| 3 | Измерительный цилиндр | до 250 мл | 1 мл | ± 1 мл |
| 4 | Штангенциркуль | 150 мм | 0,1 мм | ± 0,05 мм |
| 5 | Микрометр | 25 мм | 0,01 мм | ± 0,005 мм |
| 6 | Динамометр учебный | 4 Н | 0,1 Н | ± 0,05 Н |
| 7 | Весы учебные | 200 г | - | ± 0,01 г |
| 8 | Секундомер | 0-30 мин | 0,2 с | ± 1 с за 30 мин |
| 9 | Барометр-анероид | 720-780 мм рт. ст. | 1 мм рт. ст. | ± 3 мм рт. ст. |
| 10 | Термометр лабораторный | 0-100 0 С | 1 0 С | ± 1 0 С |
| 11 | Амперметр школьный | 2 А | 0,1 А | ± 0,05 А |
| 12 | Вольтметр школьный | 6 В | 0,2 В | ± 0,15 В |
Максимальная абсолютная погрешность прямых измерений складывается из абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчета при отсутствии других погрешностей:
Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры (ΔА = 0,17 ≈ 0,2); числовое значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности (А = 10,332 ≈ 10,3).
Результаты повторных измерений физической величины А, проведенных при одних и тех же контролируемых условиях и при использовании достаточно чувствительных и точных (с малыми погрешностями) средств измерения, обычно отличаются друг от друга. В этом случае А пр находят как среднее арифметическое значение всех измерений, а погрешность ΔА (ее называют случайной погрешностью) определяют методами математической статистики.
В школьной лабораторной практике такие средства измерения практически не используются. Поэтому при выполнении лабораторных работ необходимо определять максимальные погрешности измерения физических величин. Для получения результата достаточно одного измерения.
Относительная погрешность косвенных измерений определяется так, как показано в таблице 2.
Таблица 2
Формулы для вычисления относительной погрешности косвенных измерений
| № | Формула для физической величины | Формула для относительной погрешности |
| 1 |  |
|
| 2 | |
|
| 3 | ||
| 4 |  |
Абсолютная погрешность косвенных измерений определяется по формуле ΔА = А пр ε (ε выражается десятичной дробью).
2. О классе точности электроизмерительных приборов.
Для определения абсолютной инструментальной погрешности прибора надо знать его класс точности. Класс точности γ пр измерительного прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная инструментальная погрешность Δ и А от всей шкалы прибора (A max):
Класс точности указывают на шкале прибора или в его паспорте (знак % при этом не пишут). Существуют следующие классы точности электроизмерительных приборов: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Зная класс точности прибора (γ пр) и всю его шкалу (А mах), определяют абсолютную погрешность Δ и А измерения физической величины А этим прибором:
3. Как сравнивать результаты измерений.
1. Записать результаты измерений в виде двойных неравенств:
А 1np - ΔА 1 < А 1пр < А 1пр + ΔА 1 ,
А 2пр - ΔА 2 < А 2пр < А 2пр + ΔА 2 .
2. Сравнить полученные интервалы значений: если интервалы не перекрываются, то результаты неодинаковы; если перекрываются - одинаковы при данной относительной погрешности измерений.
4. Как оформлять отчет о проделанной работе.
- Лабораторная работа № ... .
- Наименование работы.
- Цель работы.
- Чертеж (если требуется).
- Формулы искомых величин и их погрешностей.
- Таблица результатов измерений и вычислений.
- Окончательный результат, вывод и пр. (согласно цели работы).
5. Как записывать результат измерения.
А = А пр ± ΔА
е = ...%.
Ни одно измерение не свободно от погрешностей, или, точнее, вероятность измерения без погрешностей приближается к нулю. Род и причины погрешностей весьма разнообразны и на них влияют многие факторы (рис.1.2).
Общая характеристика влияющих факторов может быть систематизирована с различных точек зрения, например, по влиянию перечисленных факторов (рис.1.2).
По результатам измерения погрешности можно разделить на три вида: систематические, случайные и промахи.
Систематические погрешности, в свою очередь, делят на группы по причине их возникновения и характеру проявления. Они могут быть устранены различными способами, например, введением поправок.
рис. 1.2
Случайные погрешности вызываются сложной совокупностью изменяющихся факторов, обычно неизвестных и трудно поддающихся анализу. Их влияние на результат измерения можно уменьшить, например, путем многократных измерений с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методом теории вероятностей.
К промахам относятся грубые погрешности, которые возникают при внезапных изменениях условия эксперимента. Эти погрешности по своей природе тоже случайны, и после выявления должны быть исключены.
Точность измерений оценивается погрешностями измерений, которые подразделяются по природе возникновения на инструментальную и методическую и по методу вычислений на абсолютную, относительную и приведенную.
Инструментальная погрешность характеризуется классом точности измерительного прибора, который приведен в его паспорте в виде нормируемых основной и дополнительных погрешностей.
Методическая погрешность обусловлена несовершенством методов и средств измерений.
Абсолютная погрешность есть разность между измеренным G u и истинным G значениями величины, определяемая по формуле:
Δ=ΔG=G u -G
Заметим, что величина имеет размерность измеряемой величины.
Относительную погрешность находят из равенства
δ=±ΔG/G u ·100%
Приведенную погрешность рассчитывают по формуле (класс точности измерительного прибора)
δ=±ΔG/G норм ·100%
где G норм – нормирующее значение измеряемой величины. Ее принимают равной:
а) конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы;
б) сумме конечных значений шкалы без учета знаков, если нулевая отметка расположена внутри шкалы;
в) длине шкалы, если шкала неравномерная.
Класс точности прибора устанавливается при его проверке и является нормируемой погрешностью, вычисляемой по формулам
γ=±ΔG/G норм ·100%, если ΔG m =const
где ΔG m – наибольшая возможная абсолютная погрешность прибора;
G k – конечное значение предела измерения прибора; с и d – коэффициенты, учитывающие конструктивные параметры и свойства измерительного механизма прибора.
Например, для вольтметра с постоянной относительной погрешностью имеет место равенство
δ m =±c
Относительная и приведенная погрешности связаны следующими зависимостями:
а) для любого значения приведенной погрешности
δ=±γ·G норм /G u
б) для наибольшей приведенной погрешности
δ=±γ m ·G норм /G u
Из этих соотношений следует, что при измерениях, например вольтметром, в цепи при одном и том же значении напряжения относительная погрешность тем больше, чем меньше измеряемое напряжение. И если этот вольтметр выбран неправильно, то относительная погрешность может быть соизмерима со значением G н , что является недопустимым. Заметим, что в соответствии с терминологией решаемых задач, например, при измерении напряжения G = U , при измерении тока C = I , буквенные обозначения в формулах для вычисления погрешностей необходимо заменять на соответствующие символы.
Пример 1.1. Вольтметром, имеющим значения γ m = 1,0 % , U н = G норм, G k = 450 В , измеряют напряжение U u , равное 10 В. Оценим погрешности измерений.
Решение.
Ответ. Погрешность измерений составляет 45 %. При такой погрешности измеренное напряжение нельзя считать достоверным.
При ограниченных возможностях выбора прибора (вольтметра), методическая погрешность может быть учтена поправкой, вычисленной по формуле
Пример 1.2. Вычислить абсолютную погрешность вольтметра В7-26 при измерениях напряжения в цепи постоянного тока. Класс точности вольтметра задан максимально приведенной погрешностью γ m =±2,5 % . Используемый в работе предел шкалы вольтметра U норм =30 В.
Решение. Абсолютная погрешность вычисляется по известным формулам:
(так как приведенная погрешность, по определению, выражается формулой 
, то отсюда можно найти и абсолютную погрешность: 
Ответ. ΔU = ±0,75 В .
Важными этапами в процессе измерений являются обработка результатов и правила округления. Теория приближенных вычислений позволяет, зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий: отобрать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большую, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов; рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результаты.
При обработке результатов применяют правила округления.
- Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше пяти, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу.
- Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то увеличение не делается.
- Правило 3. Если отбрасываемая цифра равняется пяти, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается, если она не четная.
Если за цифрой пять есть значащие цифры, то округление производится по правилу 2.
Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточно. Взаимная компенсация погрешности обеспечит наибольшую точность результата.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.
Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная).
Когда она прямо не указана, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа, округленного по правилам 1-3, т.е., если приближенное число обозначить буквой α , то
Где Δn – предельная абсолютная погрешность; а δ n – предельная относительная погрешность.
Кроме того, при обработке результатов используются правила нахождения погрешности суммы, разности, произведения и частного.
- Правило 1. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых, но при значительном числе погрешностей слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней.
- Правило 2. Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого или вычитаемого.
Предельную относительную погрешность легко найти, вычислив предельную абсолютную погрешность.
- Правило 3. Предельная относительная погрешность суммы (но не разности) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.
Если все слагаемые имеют одну и ту же предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых.
В противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. Потеря точности особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
- Правило 4. Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей: δ=δ 1 +δ 2 , или, точнее, δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 где δ – относительная погрешность произведения, δ 1 δ 2 - относительные погрешности сомножителей.
Примечания :
1. Если перемножаются приближенные числа с одним и тем же количеством значащих цифр, то в произведении следует сохранить столько же значащих цифр. Последняя из сохраняемых цифр будет не вполне надежна.
2. Если некоторые сомножители имеют больше значащих цифр, чем другие, то до умножения следует первые округлить, сохранив в них столько цифр, сколько имеет наименее точный сомножитель или еще одну (в качестве запасной), дальнейшие цифры сохранять бесполезно.
3. Если требуется, чтобы произведение двух чисел имело заранее данное число вполне надежное, то в каждом из сомножителей число точных цифр (полученное измерением или вычислением) должно быть на единицу больше. Если количество сомножителей больше двух и меньше десяти, то в каждом из сомножителей число точных цифр для полной гарантии должно быть на две единицы больше, чем требуемое число точных цифр. Практически же вполне достаточно взять лишь одну лишнюю цифру.
- Правило 5. Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Точная величина предельной относительной погрешности всегда превышает приближенную. Процент превышения примерно равен предельно относительной погрешности делителя.
Пример 1.3. Найти предельную абсолютную погрешность частного 2,81: 0,571.
Решение. Предельная относительная погрешность делимого есть 0,005:2,81=0,2%; делителя – 0,005:0,571=0,1%; частного – 0,2% + 0,1%=0,3%. Предельная абсолютная погрешность частного приближенно составит 2,81:0,571·0,0030=0,015
Значит, в частном 2,81:0,571=4,92 уже третья значащая цифра не надежна.
Ответ. 0,015.
Пример 1.4. Вычислить относительную погрешность показаний вольтметра, включенного по схеме (рис. 1.3), которая получается, если предположить, что вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление и не вносит искажений в измеряемую цепь. Классифицировать погрешность измерения для этой задачи.
рис. 1.3
Решение.
Обозначим показания реального вольтметра через И, а вольтметра с бесконечно большим сопротивлениемчерез И ∞ . Искомая относительная погрешность 
Заметим, что
тогда получим
Так как R И >>R и R > r, то дробь в знаменателе последнего равенства много меньше единицы. Поэтому можно воспользоваться приближенной формулой 
, справедливой при λ≤1
для любого α
. Предположив, что в этой формуле α
= -1 и λ= rR (r+R) -1 R И -1
, получим δ ≈ rR/(r+R) R И
.
Чем больше сопротивление вольтметра по сравнению с внешним сопротивлением цепи, тем меньше погрешность. Но условие R< Ответ.
Погрешность систематическая методическая. Пример 1.5.
В цепь постоянного тока (рис.1.4) включены приборы: А – амперметр типа М 330 класса точности К А = 1,5 с пределом измерения I k = 20 А; А 1 – амперметр типа М 366 класса точности К А1 = 1,0 с пределом измерения I к1 = 7,5 А. Найти наибольшую возможную относительную погрешность измерения тока I 2 и возможные пределы его действительного значения, если приборы показали, что I=8,0А. и I 1 = 6,0А. Классифицировать измерение. рис. 1.4
Решение.
Определяем ток I 2
по показаниям прибора (без учета их погрешностей): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 А.
Найдем модули абсолютных погрешностей амперметров А и А 1 Для А
имеем равенство Найдем сумму модулей абсолютных погрешностей: Следовательно, наибольшая возможная и той же величины, выраженная в долях этой величины, равна 1 . 10 3 – для одного прибора; 2·10 3 – для другого прибора. Какой из этих приборов будет наиболее точным? Решение.
Точность прибора характеризуется значением, обратным погрешности (чем точнее прибор, тем меньше погрешность), т.е. для первого прибора это составит 1/(1 . 10 3) = 1000, для второго – 1/(2 . 10 3) = 500. Заметим, что 1000 > 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в два раза. К аналогичному выводу можно прийти, проверив соответствие погрешностей: 2 . 10 3 / 1 . 10 3 = 2. Ответ.
Первый прибор в два раза точнее второго. Пример 1.6.
Найти сумму приближенных замеров прибора. Найти количество верных знаков: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526. Решение.
Сложив все результаты замеров, получим 0,6187. Предельная наибольшая погрешность суммы 0,00005·9=0,00045. Значит, в последнем четвертом знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. тысячных, получаем 0,619 – результат, в котором все знаки верные. Ответ.
0,619. Количество верных знаков – три знака после запятой. Основной качественной характеристикой любого датчика КИП является погрешность измерения контролируемого параметра. Погрешность измерения прибора это величина расхождения между тем, что показал (измерил) датчик КИП и тем, что есть на самом деле. Погрешность измерения для каждого конкретного типа датчика указывается в сопроводительной документации (паспорт, инструкция по эксплуатации, методика поверки), которая поставляется вместе с данным датчиком. По форме представления погрешности делятся на абсолютную
, относительную
и приведенную
погрешности. Абсолютная погрешность
– это разница между измеренной датчиком величиной Хизм и действительным значением Хд этой величины. Действительное значение Хд измеряемой величины это найденное экспериментально значение измеряемой величины максимально близкое к ее истинному значению. Говоря простым языком действительное значение Хд это значение, измеренное эталонным прибором, или сгенерированное калибратором или задатчиком высокого класса точности. Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах измерения, что и измеряемая величина (например, в м3/ч, мА, МПа и т.п.). Так как измеренная величина может оказаться как больше, так и меньше ее действительного значения, то погрешность измерения может быть как со знаком плюс (показания прибора завышены), так и со знаком минус (прибор занижает). Относительная погрешность
– это отношение абсолютной погрешности измерения Δ к действительному значению Хд измеряемой величины. Относительная погрешность выражается в процентах, либо является безразмерной величиной, а также может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Приведенная погрешность
– это отношение абсолютной погрешности измерения Δ к нормирующему значению Хn, постоянному во всем диапазоне измерения или его части. Нормирующее значение Хn зависит от типа шкалы датчика КИП: Приведенная погрешность выражается в процентах, либо является безразмерной величиной, а также может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Довольно часто в описании на тот или иной датчик указывается не только диапазон измерения, например, от 0 до 50 мг/м3, но и диапазон показаний, например, от 0 до 100 мг/м3. Приведенная погрешность в этом случае нормируется к концу диапазона измерения, то есть к 50 мг/м3, а в диапазоне показаний от 50 до 100 мг/м3 погрешность измерения датчика не определена вовсе – фактически датчик может показать все что угодно и иметь любую погрешность измерения. Диапазон измерения датчика может быть разбит на несколько измерительных поддиапазонов, для каждого из которых может быть определена своя погрешность как по величине, так и по форме представления. При этом при поверке таких датчиков для каждого поддиапазона могут применяться свои образцовые средства измерения, перечень которых указан в методике поверки на данный прибор. У некоторых приборов в паспортах вместо погрешности измерения указывают класс точности. К таким приборам относятся механические манометры, показывающие биметаллические термометры, термостаты, указатели расхода, стрелочные амперметры и вольтметры для щитового монтажа и т.п. Класс точности – это обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также рядом других свойств, влияющих на точность осуществляемых с их помощью измерений. При этом класс точности не является непосредственной характеристикой точности измерений, выполняемых этим прибором, он лишь указывает на возможную инструментальную составляющую погрешности измерения. Класс точности прибора наноситься на его шкалу или корпус по ГОСТ 8.401-80. При присвоении прибору класса точности он выбирается из ряда 1·10 n ; 1,5·10 n ; (1,6·10 n); 2·10 n ; 2,5·10 n ; (3·10 n); 4·10 n ; 5·10 n ; 6·10 n ; (где n =1, 0, -1, -2, и т. д.). Значения классов точности, указанные в скобках, не устанавливают для вновь разрабатываемых средств измерений. Определение погрешности измерения датчиков выполняют, например, при их периодической поверке и калибровке. С помощью различных задатчиков и калибраторов с высокой точностью генерируют определенные значения той или иной физической величины и сличают показания поверяемого датчика с показаниями образцового средства измерения, на которое подается то же самое значение физической величины. Причем погрешность измерения датчика контролируется как при прямом ходе (увеличение измеряемой физической величины от минимума до максимума шкалы), так и при обратном ходе (уменьшение измеряемой величины от максимума до минимума шкалы). Это связано с тем, что из-за упругих свойств чувствительного элемента датчика (мембрана датчика давления), различной интенсивности протекания химических реакций (электрохимический сенсор), тепловой инерции и т.п. показания датчика будут различны в зависимости от того, как меняется воздействующая на датчик физическая величина: уменьшается или увеличивается. Довольно часто в соответствии с методикой поверки отсчет показаний датчика при поверке нужно выполнять не по его дисплею или шкале, а по величине выходного сигнала, например, по величине выходного тока токового выхода 4…20 мА. Поверка и калибровка приборов КИП должна выполнятся при нормальных условиях окружающей среды по атмосферному давлению, влажности и температуре и при номинальном напряжении питания датчика, так как более высокие или низкие температура и напряжение питания могут привезти к появлению дополнительной погрешности измерения. Условия проведения поверки указываются в методике поверки. Приборы, погрешность измерения которых не уложилась в установленные методикой поверки рамки либо заново регулируют и настраивают, после чего они повторно проходят поверку, либо, если настройка не принесла результатов, например, из-за старения или чрезмерной деформации сенсора, ремонтируются. Если ремонт невозможен то приборы бракуются и выводятся из эксплуатации. Если все же приборы удалось отремонтировать то они подвергаются уже не периодической, а первичной поверке с выполнением всех изложенных в методике поверки пунктов для данного вида поверки. В некоторых случаях прибор специально подвергают незначительному ремонту () так как по методике поверки выполнить первичную поверку оказывается существенно легче и дешевле чем периодическую, из-за различий в наборе образцовых средств измерения, которые используются при периодической и первичной поверках. Для закрепления и проверки полученных знаний рекомендую выполнить . В основе точных естественных наук лежат измерения. При измерениях значения величин выражаются в виде чисел, которые указывают во сколько раз измеренная величина больше или меньше другой величины, значение которой принято за единицу. Полученные в результате измерений числовые значения различных величин могут зависеть друг от друга. Связь между такими величинами выражается в виде формул, которые показывают, как числовые значения одних величин могут быть найдены по числовым значениям других. При измерениях неизбежно возникают погрешности. Необходимо владеть методами, применяемыми при обработке результатов, полученных при измерениях. Это позволит научиться получать из совокупности измерений наиболее близкие к истине результаты, вовремя заметить несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и правильно оценить точность полученных значений. Если измерение заключается в сравнении данной величины с другой, однородной величиной, принятой за единицу, то измерение в этом случае называется прямым. Прямые (непосредственные) измерения
– это такие измерения, при которых мы получаем численное значение измеряемой величины либо прямым сравнением ее с мерой (эталоном), либо с помощью приборов, градуированных в единицах измеряемой величины. Однако далеко не всегда такое сравнение производится непосредственно. В большинстве случаев измеряется не сама интересующая нас величина, а другие величины, связанные с нею теми или иными соотношениями и закономерностями. В этом случае для измерения необходимой величины приходится предварительно измерить несколько других величин, по значению которых вычислением определяется значение искомой величины. Такое измерение называется косвенным. Косвенные измерения
состоят из непосредственных измерений одной или нескольких величин, связанных с определяемой величиной количественной зависимостью, и вычисления по этим данным определяемой величины. В измерениях всегда участвуют измерительные приборы, которые одной величине ставят в соответствие связанную с ней другую, доступную количественной оценке с помощью наших органов чувств. Например, силе тока ставится в соответствие угол отклонения стрелки на шкале с делениями. При этом должны выполняться два основных условия процесса измерения: однозначность и воспроизводимость результата. эти два условия всегда выполняются только приблизительно. Поэтому процесс измерения содержит наряду с нахождением искомой величины и оценку неточности измерения
. Современный инженер должен уметь оценить погрешность результатов измерений с учетом требуемой надежности. Поэтому большое внимание уделяется обработке результатов измерений. Знакомство с основными методами расчета погрешностей – одна из главных задач лабораторного практикума. Существует много причин для возникновения погрешностей измерений. Перечислим некоторые из них. · процессы, происходящие при взаимодействии прибора с объектом измерений, неизбежно изменяют измеряемую величину. Например, измерение размеров детали с помощью штангенциркуля, приводит к сжатию детали, то есть к изменению ее размеров. Иногда влияние прибора на измеряемую величину можно сделать относительно малым, иногда же оно сравнимо или даже превышает саму измеряемую величину. · Любой прибор имеет ограниченные возможности однозначного определения измеряемой величины вследствие конструктивной неидеальности. Например, трение между различными деталями в стрелочном блоке амперметра приводит к тому, что изменение тока на некоторую малую, но конечную, величину не вызовет изменения угла отклонения стрелки. · Во всех процессах взаимодействия прибора с объектом измерения всегда участвует внешняя среда, параметры которой могут изменяться и, зачастую, непредсказуемым образом. Это ограничивает возможность воспроизводимости условий измерения, а, следовательно, и результата измерения. · При визуальном снятии показаний прибора возможна неоднозначность в считывании показаний прибора вследствие ограниченных возможностей нашего глазомера. · Большинство величин определяется косвенным образом на основании наших знаний о связи искомой величины с другими величинами, непосредственно измеряемыми приборами. Очевидно, что погрешность косвенного измерения зависит от погрешностей всех прямых измерений. Кроме того, в ошибки косвенного измерения свой вклад вносят и ограниченность наших познаний об измеряемом объекте, и упрощенность математического описания связей между величинами, и игнорирование влияния тех величин, воздействие которых в процессе измерения считается несущественным. Значение погрешности
измерения некоторой величины принято характеризовать: 1. Абсолютной погрешностью – разностью между найденным на опыте (измеренным) и истинным значением некоторой величины Абсолютная погрешность показывает, на сколько мы ошибаемся при измерении некоторой величины Х. 2. Относительной погрешностью равной отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины Х Относительная погрешность показывает, на какую долю от истинного значения величины Х мы ошибаемся. Качество
результатов измерений какой-то величины характеризуется относительной погрешностью . Величина может быть выражена в процентах. Из формул (1) и (2) следует, что для нахождения абсолютной и относительной погрешностей измерений, нужно знать не только измеренное, но и истинное значение интересующей нас величины. Но если истинное значение известно, то незачем производить измерения. Цель измерений всегда состоит в том, чтобы узнать не известное заранее значение некоторой величины и найти если не ее истинное значение, то хотя бы значение, достаточно мало от него отличающееся. Поэтому формулы (1) и (2), определяющие величину погрешностей на практике не пригодны. При практических измерениях погрешности не вычисляются, а оцениваются. При оценках учитываются условия проведения эксперимента, точность методики, качество приборов и ряд других факторов. Наша задача: научиться строить методику эксперимента и правильно использовать полученные на опыте данные для того, чтобы находить достаточно близкие к истинным значения измеряемых величин, разумно оценивать погрешности измерений. Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промахах)
, возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать. Не связанные с грубыми ошибками погрешности опыта делятся на случайные и систематические. с
лучайные погрешности.
Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а «пляшут» вокруг некоторого среднего (рис.1). Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называют случайными. Случайные погрешности непроизвольно вносятся экспериментатором вследствие несовершенства органов чувств, случайных внешних факторов и т. д. Если погрешность каждого отдельного измерения принципиально непредсказуема, то они случайным образом изменяют значение измеряемой величины. Эти погрешности можно оценить только при помощи статистической обработки многократных измерений искомой величины. Систематические
погрешности
могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического винта, не равные плечи весов и т. д.) и с самой постановкой опыта. Они сохраняют свою величину (и знак!) во время эксперимента. В результате систематических погрешностей разбросанные из-за случайных погрешностей результаты опыта колеблются не вокруг истинного, а вокруг некоторого смещенного значения (рис.2). погрешность каждого измерения искомой величины можно предсказать заранее, зная характеристики прибора. Систематические погрешности
. Систематические ошибки закономерным образом изменяют значения измеряемой величины. Наиболее просто поддаются оценке погрешности, вносимые в измерения приборами, если они связаны с конструктивными особенностями самих приборов. Эти погрешности указываются в паспортах к приборам. Погрешности некоторых приборов можно оценить и не обращаясь к паспорту. Для многих электроизмерительных приборов непосредственно на шкале указан их класс точности. Класс точности прибора
– это отношение абсолютной погрешности прибора к максимальному значению измеряемой величины , которое можно определить с помощью данного прибора (это систематическая относительная погрешность данного прибора, выраженная в процентах от номинала шкалы ). Тогда абсолютная погрешность такого прибора определяется соотношением: Для электроизмерительных приборов введено 8 классов точности: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4. Чем ближе измеряемая величина к номиналу, тем более точным будет результат измерения. Максимальная точность (т. е. наименьшая относительная ошибка), которую может обеспечить данный прибор, равна классу точности. Это обстоятельство необходимо учитывать при использовании многошкальных приборов. Шкалу надо выбирать с таким расчетом, чтобы измеряемая величина, оставаясь в пределах шкалы, была как можно ближе к номиналу. Если класс точности для прибора не указан, то необходимо руководствоваться следующими правилами: · Абсолютная погрешность приборов с нониусом равна точности нониуса. · Абсолютная погрешность приборов с фиксированным шагом стрелки равна цене деления. · Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда. · Для всех остальных приборов абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления. Случайные погрешности
. Эти погрешности имеют статистический характер и описываются теорией вероятности. Установлено, что при очень большом количестве измерений вероятность получить тот или иной результат в каждом отдельном измерении можно определить при помощи нормального распределения Гаусса. При малом числе измерений математическое описание вероятности получения того или иного результата измерения называется распределением Стьюдента (более подробно об этом можно прочитать в пособии «Ошибки измерений физических величин»). Как же оценить истинное значение измеряемой величины? Пусть при измерении некоторой величины мы получили N результатов: 1). Вычисляется среднее арифметическое
серии из N прямых измерений: 2). Вычисляется абсолютная случайная погрешность каждого измерения
– это разность между средним арифметическим серии из N прямых измерений и данным измерением: 3). Вычисляется средняя квадратичная абсолютная погрешность
: 4). Вычисляется абсолютная случайная погрешность
. При небольшом числе измерений абсолютную случайную погрешность можно рассчитать через среднюю квадратичную погрешность и некоторый коэффициент , называемый коэффициентом Стъюдента: Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений N и коэффициента надежности (в таблице 1 отражена зависимость коэффициента Стьюдента от числа измерений при фиксированном значении коэффициента надежности ). Коэффициент надежности
– это вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал. Доверительный интервал
Таким образом, коэффициент Стъюдента – это число, на которое нужно умножить среднюю квадратичную погрешность, чтобы при данном числе измерений обеспечить заданную надежность результата. Чем большую надежность необходимо обеспечить для данного числа измерений, тем больше коэффициент Стъюдента. С другой стороны, чем больше число измерений, тем меньше коэффициент Стъюдента при данной надежности. В лабораторных работах нашего практикума будем считать надежность заданной и равной 0,9. Числовые значения коэффициентов Стъюдента при этой надежности для разного числа измерений приведены в таблице 1. Таблица 1 Число измерений N Коэффициент Стъюдента 5). Вычисляется полная абсолютная погрешность.
При любых измерениях существуют и случайные и систематические погрешности. Расчет общей (полной) абсолютной погрешности измерения дело непростое, так как эти погрешности разной природы. Для инженерных измерений имеет смысл суммировать систематическую и случайную абсолютные погрешности Для простоты расчетов принято оценивать полную абсолютную погрешность как сумму абсолютной случайной и абсолютной систематической (приборной) погрешностей, если погрешности одного порядка величины, и пренебрегать одной из погрешностей, если она более чем на порядок (в 10 раз) меньше другой. 6). Округляется погрешность и результат
. Поскольку результат измерений представляется в виде интервала значений, величину которого определяет полная абсолютная погрешность, важное значение имеет правильное округление результата и погрешности. Округление начинают с абсолютной погрешности!!!
Число значащих цифр, которое оставляют в значении погрешности, вообще говоря, зависит от коэффициента надежности и числа измерений. Однако даже для очень точных измерений (например, астрономических), в которых точное значение погрешности важно, не оставляют более двух значащих цифр. Бóльшее число цифр не имеет смысла, так как определение погрешности само имеет свою погрешность. В нашем практикуме сравнительно небольшой коэффициент надежности и малое число измерений. Поэтому при округлении (с избытком) полной абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру. Разряд значащей цифры абсолоютной погрешности определяет разряд первой сомнительной цифры в значении результата. Следовательно, само значение результата нужно округлять (с поправкой) до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности
. Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Если при измерении массы тела получен результат , то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю. 7). Вычисляется относительная погрешность
. При округлении относительной погрешности достаточно оставить две значащие цифры. р
езультат серии измерений некоторой физической величины представляют в виде интервала значений с указанием вероятности попадания истинного значения в данный интервал,
то есть результат необходимо записать в виде: Здесь – полная, округленная до первой значащей цифры, абсолютная погрешность и – округленное с учетом уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины. При записи результата измерений обязательно нужно указать единицу измерения величины.
Рассмотрим несколько примеров: 1. Пусть при измерении длины отрезка мы получили следующий результат: см и см. Как грамотно записать результат измерений длины отрезка? Сначала округляем с избытком абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру см. Значащая цифра погрешности в разряде сотых. Затем округляем с поправкой среднее значение с точностью до сотых, т. е. до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности 2. Пусть при расчете сопротивления проводника мы получили следующий результат: Результат измерений записываем так: 3. Пусть при расчете массы груза мы получили следующий результат: Вопросы и задачи по теории погрешностей
1. Что значит измерить физическую величину? Приведите примеры. 2. Почему возникают погрешности измерений? 3. Что такое абсолютная погрешность? 4. Что такое относительная погрешность? 5. Какая погрешность характеризует качество измерения? Приведите примеры. 6. Что такое доверительный интервал? 7. Дайте определение понятию «систематическая погрешность». 8. Каковы причины возникновения систематических погрешностей? 9. Что такое класс точности измерительного прибора? 10. Как определяются абсолютные погрешности различных физических приборов? 11. Какие погрешности называются случайными и как они возникают? 12. Опишите процедуру вычисления средней квадратичной погрешности. 13. Опишите процедуру расчета абсолютной случайной погрешности прямых измерений. 14. Что такое «коэффициент надежности»? 15. От каких параметров и как зависит коэффициент Стьюдента? 16. Как рассчитывается полная абсолютная погрешность прямых измерений? 17. Напишите формулы для определения относительной и абсолютной погрешностей косвенных измерений. 18. Сформулируйте правила округления результата с погрешностью. 19. Найдите относительную погрешность измерения длины стены при помощи рулетки с ценой деления 0,5см. Измеренная величина составила 4,66м. 20. При измерении длины сторон А и В прямоугольника были допущены абсолютные погрешности ΔА и ΔВ соответственно. Напишите формулу для расчета абсолютной погрешности ΔS, полученной при определении площади по результатам этих измерений. 21. Измерение длины ребра куба L имело погрешность ΔL. Напишите формулу для определения относительной погрешности объема куба по результатам этих измерений. 22. Тело двигалось равноускоренно из состояния покоя. Для расчета ускорения измерили путь S, пройденный телом, и время его движения t. Абсолютные погрешности этих прямых измерений составили соответственно ΔS и Δt. Выведите формулу для расчета относительной погрешности ускорения по этим данным. 23. При расчете мощности нагревательного прибора по данным измерений получены значения Рср = 2361,7893735 Вт и ΔР = 35,4822 Вт. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление. 24. При расчете величины сопротивления по данным измерений получены следующие значения: Rср = 123,7893735 Ом, ΔR = 0,348 Ом. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление. 25. При расчете величины коэффициента трения по данным измерений получены значения μср = 0,7823735 и Δμ = 0,03348. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление. 26. Ток силой 16,6 А определялся по прибору с классом точности 1,5 и номиналом шкалы 50 А. Найдите абсолютную приборную и относительную погрешности этого измерения. 27. В серии из 5 измерений периода колебаний маятника получились следующие значения: 2,12 с, 2,10 с, 2,11 с, 2,14 с, 2,13 с. Найдите абсолютную случайную погрешность определения периода по этим данным. 28. Опыт падения груза с некоторой высоты повторяли 6 раз. При этом получались следующие величины времени падения груза: 38,0 с, 37,6 с, 37,9 с, 37,4 с, 37,5 с, 37,7 с. Найдите относительную погрешность определения времени падения. Цена деления – это измеряемая величина, вызывающая отклонение указателя на одно деление. Цена деления определяется как отношение верхнего предела измерения прибора к числу делений шкалы.
для амперметра 
У поверяемого датчика давления со шкалой измерения от 0 до 250 mbar основная относительная погрешность измерения во всем диапазоне измерений равна 5%. Датчик имеет токовый выход 4…20 мА. На датчик калибратором подано давление 125 mbar, при этом его выходной сигнал равен 12,62 мА. Необходимо определить укладываются ли показания датчика в допустимые пределы.
Во-первых, необходимо вычислить каким должен быть выходной ток датчика Iвых.т при давлении Рт = 125 mbar.
Iвых.т = Iш.вых.мин + ((Iш.вых.макс – Iш.вых.мин)/(Рш.макс – Рш.мин))*Рт
где Iвых.т – выходной ток датчика при заданном давлении 125 mbar, мА.
Iш.вых.мин – минимальный выходной ток датчика, мА. Для датчика с выходом 4…20 мА Iш.вых.мин = 4 мА, для датчика с выходом 0…5 или 0…20 мА Iш.вых.мин = 0.
Iш.вых.макс - максимальный выходной ток датчика, мА. Для датчика с выходом 0…20 или 4…20 мА Iш.вых.макс = 20 мА, для датчика с выходом 0…5 мА Iш.вых.макс = 5 мА.
Рш.макс – максимум шкалы датчика давления, mbar. Рш.макс = 250 mbar.
Рш.мин – минимум шкалы датчика давления, mbar. Рш.мин = 0 mbar.
Рт – поданное с калибратора на датчик давление, mbar. Рт = 125 mbar.
Подставив известные значения получим:
Iвых.т = 4 + ((20-4)/(250-0))*125 = 12 мА
То есть при поданном на датчик давлении равном 125 mbar на его токовом выходе должно быть 12 мА. Считаем, в каких пределах может изменяться расчетное значение выходного тока, учитывая, что основная относительная погрешность измерения равна ± 5%.
ΔIвых.т =12 ± (12*5%)/100% = (12 ± 0,6) мА
То есть при поданном на датчик давлении равном 125 mbar на его токовом выходе выходной сигнал должен быть в пределах от 11,40 до 12,60 мА. По условию задачи мы имеем выходной сигнал 12,62 мА, значит наш датчик не уложился в определенную производителем погрешность измерения и требует настройки.
Основная относительная погрешность измерения нашего датчика равна:
δ = ((12,62 – 12,00)/12,00)*100% = 5,17%
Почему возникают погрешности?
Классификация погрешностей
. (1)
Расчет погрешностей прямых измерений
.
.
. Среднее арифметическое серии измерений ближе к истинному значению измеряемой величины, чем большинство отдельных измерений. Для получения результата измерения некоторой величины используется следующий алгоритм.
.
.
,
– это числовой интервал, в который с определенной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины.
.
см. Вычисляем относительную погрешность
.
см; 
; .
и 
. Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру . Затем округляем среднее значение с точностью до целых . Вычисляем относительную погрешность
.
; 
; .
кг и кг. Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру 
кг. Затем округляем среднее значение с точностью до десятков 
кг. Вычисляем относительную погрешность
.
.
