Главная > Детская комната > Платежная матрица игры m×n. Методы принятия решения

Платежная матрица игры m×n. Методы принятия решения

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на "конечные" и "бесконечные".

Конечной называется игра, в которой у каждого игрока имеется только конечное число стратегий.

Конечная игра, в которой игрок А имеет m стратегий, а игрок В - n стратегий, называется игрой m´n .

Рассмотрим игру m´n двух игроков А и В ("мы" и "противник").

Будем обозначать наши стратегии A 1 , А 2 ,…, А m ; стратегии противника - B 1 , В 2 ,..., В n .

Пусть каждая сторона выбрала определенную стратегию; для нас это будет А i для противника. В j .

Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий A i , В j однозначно определяет исход игры - наш выигрыш. Обозначим его a ij .

Если игра содержит, кроме личных, случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий А i , В j есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша является его среднее значение (математическое ожидание). Мы будем обозначать одним и тем же знаком a ij как сам выигрыш (в игре без случайных ходов), так и его среднее значение (в игре со случайными ходами).

Пусть нам известны значения a ij выигрыша (или среднего выигрыша) при каждой паре стратегий. Значения a ij можно записать в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют нашим стратегиям (A i ), а столбцы - стратегиям противника (В j ). Такая таблица называется платежной матрицей или просто матрицей игры.

Матрица игры (платежная матрица) - таблица, в которой заданы стратегии игроков и платежи.

Матрица игры m´n имеет вид:

А В	B 1	B 2	…	B n
A 1	a 11	a 12	…	a 1 n
A 2	a 21	a 22	…	a 2 n
…	…	…	…	…
A m	a m1	a m2	…	a mn

Сокращенно мы будем обозначать матрицу игры

Рассмотрим несколько элементарных примеров игр.

Пример 1 . Два игрока А и В , не глядя друг на друга, кладут на стол по монете вверх гербом или вверх цифрой, по своему усмотрению. Если игроки выбрали одинаковые стороны (у обоих герб или у обоих цифра), то игрок А забирает обе монеты; иначе их забирает игрок В . Требуется проанализировать игру и составить ее матрицу.

Решение. Игра состоит только из двух ходов: наш ход и ход противника, оба личные. Игра не принадлежит к играм с полной информацией, так как в момент хода выполняющий его игрок не знает, что сделал другой.

Так как у каждого из игроков имеется только один личный ход, то стратегия игрока представляет собой выбор при этом единственном личном ходе.

У нас две стратегии: А 1 - выбирать герб и А 2 - выбирать цифру; у противника такие же две стратегии: В 1 герб и В 2 - цифра. Таким образом, данная игра есть игра 2´2. Будем считать выигрыш монеты за +1 . Матрица игры приведена ниже:

А В	B 1 (Г)	B 2 (Ц)
A 1 (Г)		–1
A 2 (Ц)	–1

На примере этой игры, как она ни элементарна, можно уяснить себе некоторые существенные идеи теории игр.

Предположим сначала, что данная игра выполняется только один раз. Тогда, очевидно, бессмысленно говорить о каких-либо "стратегиях" игроков более разумных, чем другие. Каждый из игроков с одинаковым основанием может принять любое решение. Однако при повторении игры положение меняется.

Действительно, допустим, что мы (игрок А) выбрали себе какую-то стратегию (скажем, А 1 ) и придерживаемся ее. Тогда уже по результатам первых нескольких ходов противник догадается о нашей стратегии и будет на нее отвечать наименее выгодным для нас образом, т.е. выбирать цифру. Нам явно невыгодно всегда применять какую-то одну стратегию; чтобы не оказаться в проигрыше, мы должны иногда выбирать герб, иногда - цифру. Однако, если мы будем чередовать гербы и цифры в какой-то определенной последовательности (например, через один), противник тоже может догадаться об этом иответить на эту стратегию наихудшим для нас образом. Очевидно, надежным способом, гарантирующим, что противник не будет знать нашей стратегии, будет такая организация выбора при каждом ходе, когда мы его сами наперед не знаем (это можно обеспечить, например, подбрасыванием монеты). Таким образом, мы путем интуитивных рассуждений подходим к одному из существенных понятий теории игр - к понятию "смешанной стратегии", т.е. такой, когда "чистые" стратегии - в данном случае А 1 и А 2 -чередуются случайно с определенными частотами. В данном примере из соображений симметрии заранее ясно, что стратегии А 1 и А 2 должны чередоваться с одинаковой частотой; в более сложных играх решение может быть далеко не тривиальным.

Пример 2 . Игроки А и В одновременно и независимо друг от друга записывают каждый одно из трех чисел: 1, 2 или 3.

Если сумма написанных чисел четная, то В платит А эту сумму в тенге; если она нечетная, то, наоборот, А платит В эту сумму. Требуется проанализировать игру и составить ее матрицу.

Решение . Игра состоит из двух ходов; оба - личные. У нас (А ) три стратегии: А 1 - писать 1; А 2 - писать 2; А 3 - писать 3. У противника (В ) - те же три стратегии. Игра представляет собой игру 3´3 с матрицей, приведенной ниже

А В	B 1	B 2	B 3
A 1		–3
A 2	–3		–5
A 3		–5

Очевидно, как и в предыдущем случае, на любую выбранную нами стратегию противник может ответить наихудшим для нас образом. Действительно, если мы выберем, например, стратегию А 1 противник будет всегда отвечать на нее стратегией В 2 ; на стратегию А 2 - стратегией В 3 ; на стратегию А 3 - стратегией В 2 . Таким образом, любой выбор определенной стратегии неизбежно приведет нас к проигрышу.

Пример 3 . В нашем распоряжении имеются три вида вооружения: А 1 , А 2 , А 3 ; у противника - три вида самолетов: B 1 , B 2 , В 3 . Наша задача - поразить самолет; задача противника - сохранить его непораженным. При применении вооружения А 1 самолеты B 1 , B 2 , В 3 поражаются соответственно с вероятностями 0,9, 0,4 и 0,2; при вооружении А 2 - с вероятностями 0,3, 0,6 и 0,8; при вооружении А 3 - с вероятностями 0,5, 0,7 и 0,2. Требуется сформулировать ситуацию в терминах теории игр.

Решение . Ситуация может рассматриваться как игра 3´3 с двумя личными ходами и одним случайным. Наш личный ход - выбор типа вооружения; личный ход противника - выбор самолета для участия в бою. Случайный ход - применение вооружения; этот ход может закончиться поражением или непоражением самолета. Наш выигрыш равен единице, если самолет поражен, и равен нулю в противном случае. Нашими стратегиями являются три варианта вооружения; стратегиями противника - три варианта самолетов. Среднее значение выигрыша при каждой заданной паре стратегий есть не что иное, как вероятность поражения данного самолета данным оружием. Матрица игры приведена ниже:

А В	B 1	B 2	B 3
A 1	0,9	0,4	0,2
A 2	0,3	0,6	0,8
A 3	0,5	0,7	0,2

Оптимальной стратегией игрока в теории игр называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что тоже самое, минимально возможный средний проигрыш). При выборе этой стратегии основой рассуждений является предположение, что противник является по меньшей мере таким же разумным, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.

В теории игр все рекомендации вырабатывают, исходя именно из этих принципов; следовательно, в ней не учитываются элементы риска, неизбежно присутствующие в каждой реальной стратегии, а также возможные просчеты и ошибки каждого из игроков.

Теория игр, как и всякая математическая модель сложного явления, имеет свои ограничения. Важнейшим из них является то, что выигрыш искусственно сводится к одному единственному числу. В большинстве практических конфликтных ситуация при выработке разумной стратегии приходится принимать во внимание не один, а несколько численных параметров-критериев успешности мероприятия. Стратегия, являющаяся оптимальной по одному критерию, необязательно будет оптимальной по другим. Однако, сознавая эти ограничения и не придерживаясь слепо рекомендаций, получаемых игровыми методами, можно все же разумно использовать математический аппарат теории игр для выработки если не в точности "оптимальной", то, во всяком случае, "приемлемой" стратегии.

Суть каждого принимаемого руководством решения - выбор наилучшей из нескольких альтернатив по конкретным установленным заранее критериям. Платежная матрица - это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей.

По словам Н. Пола Лумбы: «Платеж представляет собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу», как показано на рис. 8.4. Слова «в сочетании с конкретными обстоятельствами» очень важны, чтобы понять, когда можно использовать платежную матрицу и оценить, когда решение, принятое на ее основе, скорее всего будет надежным. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически свершаются. Если такое событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизбежно будет иным.

В целом платежная матрица полезна, когда:

1. Имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.

2. То, что может случиться, с полной определенностью не известно.

3. Результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива и какие события в действительности имеют место.

Кроме того, руководитель должен располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Руководитель редко имеет полную определенность. Но также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события. Из предшествующего рассмотрения напомним, что вероятность варьирует от 1, когда событие определенно произойдет, до 0, когда событие определенно не произойдет. Вероятность можно определить объективно, как поступает игрок в рулетку, ставя на нечетные номера. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя, который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях.

Рис.4. Платежная матрица

Представим ситуацию торгового агента, который решает, лететь ему самолетом или ехать поездом за город, где находится потребитель. Если погода будет хорошей, он может лететь и потратить на всю дорогу от ворот до ворот 2 ч, а если придется ехать поездом - 7 ч. Если он поедет поездом, то потеряет день на месте его работы, который, по его оценке, мог бы увеличить сбыт на 1500 долл. По оценке иногородний потребитель должен вручить ему заказ на 3000 долл., если он лично посетит клиента. Если он запланирует лететь к клиенту, в потом самолет вынужден будет приземлиться из-за тумана, придется заменить личное посещение телефонным звонком. Это приведет к уменьшению заказа иногороднего клиента до 500 долл., зато агент сможет обеспечить заказы на 1500 долл. дома.

Приведенные выше данные платежной матрицы отражают оценку последствий разных вариантов действий. Дополнительно представлены некоторые предположения относительно вероятности тумана (который скажется на самолете, но не на поезде) и ясной погоды. Мы видим, что вероятность ясной погоды в 10 раз выше, чем тумана. Далее, матрица показывает, что, действуя по первому варианту стратегии (самолет), если погода будет хорошей (9 шансов из 10), торговый агент по оценке продаст товаров на 4500 долл. (это и есть результат или последствия). Три других варианта последствий можно объяснить таким же образом, мы опускаем эти рассуждения.

Если вероятность не была принята в расчет, решение всегда будет соскальзывать в направлении наиболее оптимистических последствий. Например, если исходить из того, что инвесторы на удачной кинокартине могут иметь 500% на инвестированный капитал, а при вложении в торговую сеть - в самом благоприятном варианте всего 20%, то решение всегда должно быть в пользу кинопроизводства. Однако если взять в расчет, что вероятность большого успеха кинофильма весьма невысока, капиталовложения в магазины становятся более привлекательными, поскольку вероятность получения указанных 20% очень значительна. Если взять более простой пример, то выплаты при ставках в заезде на длинную дистанцию на скачках выше, поскольку выше вероятность, что не выиграешь вообще ничего.

Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения - центральной концепции платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта стратегии - это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности. К примеру, если вы считаете, что вложение средств (как стратегия действий) в киоск для торговли мороженым с вероятностью 0,5 обеспечит вам годовую прибыль 5000 долл., с вероятностью 0,2 - 10 000 долл. и с вероятностью 0,3 - 3000 долл., то ожидаемое значение составит:

5000 (0,5) + 10 000 (0,2) + 3000 (0,3) = 5400 долл.

Определив ожидаемое значение каждой альтернативы и расположив результаты в виде матрицы, руководитель без труда может установить, какой выбор наиболее привлекателен при заданных критериях. Он будет, конечно, соответствовать наивысшему ожидаемому значению. Исследования показывают: когда установлены точные значения вероятности, методы дерева решений и платежной матрицы обеспечивают принятие более качественных решений, чем традиционные подходы.

Платежная матрица - один из методов статистической теории решений, оказывающий помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Особенно полезен в ситуации, когда руководитель должен установить, какая стратегий в наибольшей мере будет способствовать достижению целей. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически совершаются. Если событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизменно будет другим.

В целом платежная матрица полезна, когда:

· имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.
· то, что может случиться, с полной определенностью не известно.

Результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива, и какие события в действительности имеют место.

Кроме того, руководитель должен иметь возможность объективно оценить вероятность релевантных событий и рассчитать ожидаемое значение такой вероятности.

Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения - основного понятия платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта - это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности.

Определив ожидаемое значение каждой альтернативы и расположив результаты в виде матрицы, руководитель без труда может выбрать наиболее оптимальный вариант. платежный матрица релевантный

По словам Н. Пола Лумбы: "Платеж представляет собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу", Слова "в сочетании с конкретными обстоятельствами" очень важны, чтобы понять, когда можно использовать платежную матрицу и оценить, когда решение, принятое на ее основе, скорее всего будет надежным. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически свершаются. Если такое событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизбежно будет иным.

Руководитель редко имеет полную определенность. Но также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события.

В платежной матрице представляются платежи в сочетании с конкретными обстоятельствами в форме таблицы или матрицы.

Для применения данного метода руководителю необходимо определить вероятность события, которая варьируется от 1 до 0. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя, который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях.

Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения - центральной концепции платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта стратегии - это сумма возможных значений умноженных на соответствующие вероятности.

Определив ожидаемое значение каждой альтернативы и расположив результаты в виде матрицы, руководитель без труда может установить, какой выбор наиболее предпочтителен при заданных критериях. Он будет, конечно, соответствовать наивысшему ожидаемому значению.

Вероятность можно определить объективно, как поступает игрок в рулетку, ставя на нечетные номера. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя, который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях.

Если вероятность не была принята в расчет, решение всегда будет соскальзывать в направлении наиболее оптимистических последствий.

Факторы, влияющие на процесс принятия управленческих решений имеют важное значение. Процесс управления – деятельность объединенных в определенную систему субъектов управления, направленная на достижение целей фирмы путем реализации определенных функций с использованием методов управления.

Методы принятия решений разнообразны. При принятии решения вне зависимости от применяемых моделей существуют некоторые правила принятия решений. Правило принятия решения – это критерий, по которому выносится суждение об оптимальности данного конкретного исхода. Существует два типа правил. Один не использует численные значения вероятных исходов, второй – использует данные значения.

К первому типу относятся следующие правила принятия решений:

1. Максимаксное решение – это решение, при котором принимается решение по максимизации максимально возможных доходов. Данный метод очень оптимистичен, то есть не учитывает возможные потери и, следовательно, самый рискованный.

2. Максиминное решение – это решение, при котором максимизируется минимально возможный доход. Данный метод в большей степени учитывает отрицательные моменты различных исходов и является более осторожным подходом к принятию решений.

3. Минимаксное решение – это решение, при котором минимизируются максимальные потери. Это наиболее осторожный подход к принятию решений и наиболее учитывающий все возможные риски. Под потерями здесь учитываются не только реальные потери, но и упущенные возможности.

4. Критерий Гурвича. Данный критерий является компромиссом между максиминным и максимаксным решениями и является одним из самых оптимальных.

Ко второму типу принятия решений относятся решения, при которых кроме самих возможных доходов и потерь учитываются вероятности возникновения каждого исхода. К данному типу принятия решений относятся, например, правило максимальной вероятности и правило оптимизации математического ожидания. При данных методах обычно составляется таблица доходов, в которой указываются все возможные варианты доходов и вероятности их наступления. При использовании правила максимальной вероятности соответственно выбирается по одному из правил первого типа один из исходов, имеющий максимальную вероятность.

При использовании правила оптимизации математических ожиданий, высчитываются математические ожидания для доходов или потерь и затем выбирается оптимальный вариант.

Так как значения вероятностей со временем изменяются, при применении правил второго типа обычно используется проверка правил на чувствительность к изменениям вероятностей исходов.

Кроме того, для определения отношения к риску используется понятие полезности. То есть для каждого возможного исхода кроме вероятности рассчитывается полезность данного исхода, которая также учитывается при принятии решений.

В дополнение к моделированию, имеется ряд методов, способных оказать помощь руководителю в поиске объективно обоснованного решения по выбору из нескольких альтернатив той, которая в наибольшей мере способствует достижению целей.

Для принятия оптимальных решений применяются следующие методы:

ü платежная матрица;

ü дерево решений;

ü методы прогнозирования.

Платежная матрица . Суть каждого принимаемого руководством решения – выбор наилучшей из нескольких альтернатив по конкретным установленным заранее критериям. Платежная матрица – это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей. Платеж представляет собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу. Слова «в сочетании с конкретными обстоятельствами» очень важны, чтобы понять, когда можно использовать платежную матрицу и оценить, когда решение, принятое на ее основе, скорее всего будет надежным. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически совершаются. Если такое событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизбежно будет иным. В целом платежная матрица полезна, когда:

1) имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними;

2) то, что может случиться, с полной определенностью не известно;

3) результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива и какие события в действительности имеют место.

Кроме того, руководитель должен располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Руководитель редко имеет полную определенность, но также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события. Вероятность можно определить объективно, как поступает игрок в рулетку, ставя на нечетные номера. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя, который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях.

Многие допущения, из которых исходит руководитель, относятся к условиям в будущем, над которыми руководитель почти не имеет никакого контроля. Однако такого рода допущения необходимы для многих операций планирования. Ясно, что чем лучше руководитель сможет предсказать внешние и внутренние условия применительно к будущему, тем выше шансы на составление осуществимых планов.

Используя дерево решений, руководитель может рассчитать результат каждой альтернативы и выбрать наилучшую последовательность действий. Результат альтернативы рассчитывается путем умножения ожидаемого результата на вероятность и последующим суммированием таких же произведений, находящихся правее на дереве решений.

Дерево решений – это схематическое представление проблемы принятия решений. Как и платежная матрица, дерево решений дает руководителю возможность учесть различные направления действий, соотнести с ними финансовые результаты, скорректировать их в соответствии с приписанной им вероятностью, а затем сравнить альтернативы. Концепция ожидаемого значения является неотъемлемой частью метода дерева решений (рис.3.1).

Рис. 3.1. Дерево принятия решений

Дерево решений можно строить под сложные ситуации, когда результаты одного решения влияют на последующие решения. Таким образом, дерево решений – это полезный инструмент для принятия последовательных решений.

Общие основы менеджмента
- ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАН
- ЛИТЕРАТУРА
- Перечень умений
- Определение организации. Необходимость управления
- Суть управленческой деятельности. Роль руководителя и управленческие функции. Уровни управления
- Суть и назначение основных функций управления. Определение менеджмента и его основные цели
- Эволюция управления как научной дисциплины. Подходы к управлению на основе выделения различных школ: системный, процессный и ситуационный подходы. Внешнее окружение организации
- Коммуникации в управлении: понятие и процесс коммуникации
- Групповая динамика и руководство: группы и их значимость; эффективность коллективной работы. Лидерство, власть и влияние: соотношение лидерства и власти. Процесс коммуникаций и эффективность управления
- Понятие «побуждение» и «вознаграждение» относятся к способам мотивации персонала. Современная технология в процессах коммуникаций с использованием понятий “побуждение” и “вознаграждение” предполагает использование традиционной базы и современных методов,
- Организация труда на предприятиях связи: формирование трудовых ресурсов; управление кадрами в условиях сокращения численности занятых. Нормирование труда
- Виды решений. Принятие решений: модели и процесс принятия управленческих решений

Суть каждого принимаемого руководством решения - выбор наилучшей из нескольких альтернатив по конкретным установленным заранее критериям. (Если вы захотите вспомнить рассмотрение ограничений и критериев для принятия решений, обратитесь к гл. 6).Платежная матрица - это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей.

В целом платежная матрица полезна, когда:

1. Имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.

2. То, что может случиться, с полной определенностью не известно.

5000 (0,5) + 10 000 (0,2) + 3000 (0,3) = 5400 долл.

Рис. 8.5.Дерево решений.