«Чистые» стратегии. Игры в чистых стратегиях

Математические методы и модели в экономике

Матричные игры

Введение

В экономической практике часто возникают ситуации, в которых различные стороны преследуют различные цели. Например, отношения между продавцом и покупателем, поставщиком и потребителем, банком и вкладчиком и т.д. Такие конфликтные ситуации возникают не только в экономике, но в других видах деятельности. Например, при игре в шахматы, шашки, домино, лото и т.д.

Игра – это математическая модель конфликтной ситуации с участием не менее двух лиц, использующих несколько различных способов для достижения своих целей. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока. Игра называется антагонистической, если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Следовательно, для задания игры достаточно задать величины выигрышей одного игрока в различных ситуациях.

Любой способ действия игрока в зависимости от сложившейся ситуации называется стратегией. Каждый игрок располагает определенным набором стратегий. Если число стратегий конечно, то игра называется конечной, в противном случае – бесконечной . Стратегии называются чистыми, если каждый из игроков выбирает только одну стратегию определенным, а не случайным образом.

Решение игры заключается в выборе такой стратегии, которая удовлетворяет условию оптимальности. Это условие состоит в том, что один игрок получает максимальный выигрыш , если второй придерживается своей стратегии. И наоборот, второй игрок получает минимальный проигрыш , если первый из игроков придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными . Таким образом, цель игры – это определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

Игра в чистых стратегиях

Рассмотрим игру с двумя игроками А и В. Предположим, что игрок А имеет m стратегий А 1 , А 2 , …, А m , а игрок В имеет n стратегий B 1 , B 2 , … ,B n . Будем считать, что выбор игроком А стратегии А i , а игроком В стратегии B j однозначно определяет исход игры, т.е. выигрыш a ij игрока А и выигрыш b ij игрока В. Здесь i=1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Простейшей игрой с двумя игроками является антагонистическая игра, т.е. игра, в которой интересы игроков прямо противоположны. В этом случае выигрыши игроков связаны равенством

b ij =-a ij

Это равенство означает, что выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. В этом случае достаточно рассматривать лишь выигрыши одного из игроков, например, игрока А.

Каждой паре стратегий А i и B j соответствует выигрыш a ij игрока А. Все эти выигрыши удобно записывать в виде так называемой платежной матрицы

Строки этой матрицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В. В общем случае такая игра называется (m×n)-игрой.

Пример 1. Два игрока А и В бросают монету. Если стороны монеты совпадают, то выигрывает А , т.е. игрок В платит игроку А некоторую сумму, равную 1, а если не совпадают, то выигрывает игрок В, т.е. наоборот, игрок А платит игроку В эту же сумму, равную 1. Сформировать платежную матрицу.

Решение. По условию задачи

Среди конечных игр, имеющих практическое значение, сравнительно редко встречаются игры с седловой точкой; более типичным является случай» когда нижняя и верхняя цена - игры различны. Анализируя матрицы таких игр, мы пришли к заключению, что если каждому игроку предоставлен выбор

одной - единственной стратегии., то в расчете на разумно действующего противника этот выбор должен определяться принципом минимакса. Придерживаясь своей максиминной стратегии, мы при любом поведении противника заведомо гарантируем себе выигрыш, равный нижней цене -игры а. Возникает естественный вопрос: нельзя ли гарантировать себе средний выигрыш, больший а, если применять не одну-единственную «чистую» стратегию, а чередовать случайным образом несколько стратегий?

Такие комбинированные стратегии, состоящие в применении нескольких чистых стратегий, чередующихся по случайному закону с определенным соотношением частот, в теории игр называются смешанными стратегиями.

Очевидно, каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной, в которой все стратегии, кроме одной, применяются с нулевыми частотами, а данная - с частотой 1.

Оказывается, что, применяя не только чистые, но и смешанные стратегии, можно для каждой конечной игры получить решение, т. е. пару таких (в общем случае смешанных) стратегий, что при применении их обоими игроками выигрыш будет равен цене игры, а при любом одностороннем отклонении от оптимальной стратегии выигрыш может измениться только в сторону, невыгодную для отклоняющегося.

Высказанное утверждение составляет содержание так называемой основной теоремы теории игр. Эта теорема была впервые доказана фон Нейманом в 1928 г. Известные доказательства теоремы сравнительно сложны; поэтому приведем только ее формулировку.

Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение (возможно, в области смешанных стратегий).

Выигрыш, получаемый в результате решения, называется ценой игры. Из основной теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену. Очевидно, что цена игры v всегда лежит между нижней ценой игры а и верхней ценой игры :

Действительно, а есть максимальный гарантированный выигрыш, который мы можем себе обеспечить, применяя только свои чистые стратегии. Так как смешанные стратегии включают в себя в качестве частного случая и все чистые, то, допуская, кроме чистых, еще и смешанные

стратегии, мы, во всяком случае, не ухудшаем своих возможностей; следовательно,

Аналогично, рассматривая возможности противника, покажем, что

откуда следует доказываемое неравенство (3.1).

Введем специальное обозначение для смешанных стратегий. Если, например, наша смешанная стратегия состоит в применении стратегий АЛ, с частотами причем будем обозначать эту стратегию

Аналогично смешанную стратегию противника будем обозначать:

где - частоты, в которых смешиваются стратегии

Предположим, что нами найдено решение игры, состоящее из двух оптимальных смешанных стратегий S, S. В общем случае не все чистые стратегии, доступные данному игроку, входят в его оптимальную смешанную стратегию, а только некоторые. Будем называть стратегии, входящие в оптимальную смешанную стратегию игрока, его «полезными» стратегиями.

Оказывается, что решение игры обладает еще одним замечательным свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии 5 (5). то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, независимо от того, что делает другой игрок, если он. только не выходит за пределы своих «полезных» стратегий. Он, например, может пользоваться любой из своих «полезных» стратегий в чистом виде, а также может смешивать их в любых пропорциях.

Докажем это утверждение. Пусть имеется решение игры . Для конкретнрсти будем считать, что оптимальная смешанная стратегия состоит из смеси трех

«полезных» стратегий соответственно состоит из смеси трех «полезных» стратегий

причем Утверждается что если мы будем придерживаться стратегии S, то противник может применять стратегии в любых пропорциях, а выигрыш останется неизменным и по-прежнему будет равен цене игры

Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий A1, A2, ..., Am с вероятностями p1, p2, ..., pi, ..., pm причем сумма вероятностей равна 1: Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы или в виде строки SA = (p1, p2, ..., pi, ..., pm) Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются: , или, SB = (q1, q2, ..., qi, ..., qn), где сумма вероятностей появления стратегий равна 1: Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегий S*A , S*B в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v. Цена игры удовлетворяет неравенству: ? ? v ? ? (3.5) где? и? - нижняя и верхняя цены игры. Справедлива следующая основная теорема теории игр - теорема Неймана. Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий. Пусть S*A = (p*1, p*2, ..., p*i, ..., p*m) и S*B = (q*1, q*2, ..., q*i, ..., q*n) - пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной. Справедлива теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий. Эта теорема имеет большое практическое значение - она дает конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки. Рассмотрим игру размера 2×2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение - это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке. Игра, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий S*A = (p*1, p*2) и S*B = (q*1, q*2). Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии S"A, то его средний выигрыш будет равен цене игры v, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В. Для игры 2×2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) - случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равен v и для 1-й, и для 2-й стратегии противника. Пусть игра задана платежной матрицей Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию, а игрок В - чистую стратегию B1 (это соответствует 1-му столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры v: a11 p*1+ a21 p*2= v. Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию B2, т.е. a12 p*1+ a22 p*2= v. Учитывая, что p*1+ p*2= 1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S"A и цены игры v: (3.6) Решая эту систему, получим оптимальную стратегию (3.7) и цену игры (3.8) Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании SВ*- оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А1 или А2) средний проигрыш игрока В равен цене игры v, т.е. (3.9) Тогда оптимальная стратегия определяется формулами: (3.10)

Если игра не имеет седловой точки, то возникают затруднения в определении цены игры и оптимальных стратегий игроков. Рассмотрим, например, игру:

В этой игре и . Следовательно, первый игрок может гарантировать себе выигрыш, равный 4, а второй может ограничить свой проигрыш 5. Область между и является как бы ничейной и каждый игрок может попытаться улучшить свой результат за счет этой области. Каковы же должны быть в этом случае оптимальные стратегии игроков?

Если каждый из игроков применяет отмеченную звездочкой стратегию (и ), то выигрыш первого игрока и проигрыш второго будут равны 5. Это невыгодно второму игроку, так как первый выигрывает больше, чем оно может себе гарантировать. Однако если второй игрок каким-либо образом раскроет замысел первого о намерении использовать стратегию , то он может применить стратегию и уменьшить выигрыш первого до 4. Правда, если первый игрок раскроет замысел второго применить стратегию , то, используя стратегию , он увеличит свой выигрыш до 6. Таким образом, возникает ситуация, когда каждый игрок должен хранить в секрете ту стратегию, которую он собирается использовать. Однако, как это сделать? Ведь если партия играется многократно и второй игрок применяет все время стратегию , то первый игрок скоро разгадает замысел второго и, применив стратегию , будет иметь добавочный выигрыш. Очевидно, что второй игрок должен менять стратегию в каждой новой партии, но делать это он должен так, чтобы первый не догадался, какую стратегию применит он в каждом случае.

Для механизма случайного выбора выигрыши и проигрыши игроков будут случайными величинами. Результат игры в этом случае можно оценить средней величиной проигрыша второго игрока. Вернемся к примеру. Так, если второй игрок использует стратегию и случайным образом с вероятностями 0.5; 0.5, то при стратегии первого игрока среднее значение его проигрыша будет:

а при стратегии первого игрока

Следовательно, второй игрок может ограничить свой средний проигрыш значением 4,5 независимо от стратегии, применяемой первым игроком.

Таким образом, в ряде случаев оказывается целесообразным не намечать заранее стратегию, а выбирать ту или иную случайным образом, используя какой-либо механизм случайного выбора. Стратегию, основанную на случайном выборе, называют смешанной стратегией , в отличие от намеченных стратегий, которые называются чистыми стратегиями .

Дадим более строгое определение чистых и смешанных стратегий.

Пусть имеется игра без седловой точки:

Обозначим частоту использования чистой стратегии первого игрока через , (вероятность использования i-ой стратегии). Аналогично обозначим частоту использования чистой стратегии второго игрока через , (вероятность использования j-ой стратегии). Для игры с седловой точкой существует решение в чистых стратегиях . Для игры без седловой точки существует решение в смешанных стратегиях, то есть когда выбор стратегии осуществляется на основании вероятностей. Тогда

Множество чистых стратегий 1-го игрока;

Множество смешанных стратегий 1-го игрока;

Множество чистых стратегий 2-го игрока;

Множество смешанных стратегий 2-го игрока.

Рассмотрим пример: пусть имеется игра

Второй игрок выбирает вероятность . Оценим средний проигрыш второго игрока при применении им стратегий и соответственно.

Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков.

Первый игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m , второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n . Каждой паре стратегий (i , j ) поставлено в соответствие число а ij , выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i - ю стратегию, а 2 – свою j -ю стратегию.

Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i -ю стратегию (i = ), 2– свою j -ю стратегию (j =
), после чего игрок 1 получает выигрыш а ij за счёт игрока 2 (если а ij < 0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму |а ij |). На этом игра заканчивается.

Каждая стратегия игрока i =
; j =
часто называется чистой стратегией.

Если рассмотреть матрицу

А =

то проведение каждой партии матричной игры с матрицей А сводится к выбору игроком 1 i -й строки, а игроком 2 j -го столбца и получения игроком 1 (за счёт игрока 2) выигрыша а ij .

Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: для каждого значения i (i =
) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2

а ij (i =
)

т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою i -ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = i о , при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится

а ij =
=(1)

Определение . Число , определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.

Игрок 2 при оптимальном своём поведении должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается

а ij

т.е. определяется max выигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою j -ю чистую стратегию, затем игрок 2 отыскивает такую свою j = j 1 стратегию, при которой игрок 1 получит min выигрыш, т.е. находит

a ij =
=(2).

Определение . Число , определяемое по формуле (2), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1.

Другими словами, применяя свои чистые стратегии игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше , а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем .

Определение . Если в игре с матрицей А =, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры

 = =.

Седловая точка – это пара чистых стратегий (i о , j о ) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство =. В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе:

где i , j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (i о , j о ) – стратегии, образующие седловую точку.

Таким образом, исходя из (3), седловой элемент
является минимальным в i о -й строке и максимальным в j о -м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце . Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (i о , j о ) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент
, называется решением игры . При этом i о и j о называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2.

Пример 1

Седловой точкой является пара (i о = 3;j о = 1), при которой === 2.

Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен 2 ==, она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.

Пример 2

Из анализа матрицы выигрышей видно, что
, т.е. данная матрица не имеет седловой точки. Если игрок 1 выбирает свою чистую максиминную стратегию i = 2, то игрок 2, выбрав свою минимаксную j = 2, проиграет только 20. В этом случае игроку 1 выгодно выбрать стратегию i = 1, т.е. отклониться от своей чистой максиминной стратегии и выиграть 30. Тогда игроку 2 будет выгодно выбрать стратегию j = 1, т.е. отклониться от своей чистой минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь игрок 1 должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 ответит выбором 2-й стратегии и т.д.

Рассмотрим пример. Пусть дана матрица игры (4):

Требуется найти нижнюю цену игры α, верхнюю цену игры β и минимаксные стратегии и проверить, являются ли они устойчивыми. Решение. Из анализа дополнительных столбца и строки получаем: α = 5, β = 5. Максимин равен минимаксу! Случай особый. Что же из этого следует? Возьмем пару минимаксных стратегий: К 2 и С 3 . Если оба держатся этих стратегий, то выигрыш будет равен 5. Теперь, допустим, мы узнали о поведении противника. Что будем делать? А ничего! Мы по-прежнему будем держаться стратегии К 2 , потому что любое отступление от нее нам невыгодно. Знаем мы или не знаем о поведении противника - все равно будем держаться стратегии К 2 ! То же относится и к «синим» - им нет смысла менять свою стратегию С 3 . В данном примере пара стратегий К 2 и С 3 устойчива, т. е. представляет собой положение равновесия и дает решение игры. Почему так получилось? Потому что в матрице имеется особый элемент 5; он является минимальным в своей строке и одновременно максимальным в своем столбце. Такой элемент называется седловой точкой . Если матрица имеет седловую точку (т. е. нижняя цена игры равна верхней), то игра имеет решение в чистых стратегиях: это - пара стратегий, пересекающихся в седловой точке. Сама же седловая точка дает цену игры - в нашем примере она равна 5. Класс игр, имеющих седловую точку, имеет большое значение в теории игр. В частности, доказано, что если по правилам игры каждый из игроков знает результат всех предыдущих ходов, как своих, так и противника (так называемая игра с полной информацией), то игра имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях . Примерами игр с полной информацией могут служить: шахматы, шашки, «крестики и нолики» и т. п. Приведем пример игры с полной информацией, решение которой легко найти. Два игрока - К и С - поочередно кладут одинаковые монеты на круглый стол. Положение каждой монеты выбирается произвольно, лишь бы она не перекрывалась другими. Выигрывает тот из игроков, который положит монету последним (когда места для других уже не остается). Стоит немножко подумать, чтобы убедиться, что исход этой игры всегда предрешен и что существует вполне определенная стратегия, гарантирующая выигрыш тому из игроков, который кладет монету первым (пусть это будет К). А именно К должен положить первую монету в центр стола, а далее на каждый ход С отвечать в точности симметричным относительно центра стола ходом! Бедный С может при этом вести себя как угодно, спасения ему все равно нет... Очевидно, такая игра имеет смысл только для тех, кто не знает решения. Любопытно, что совершенно так же обстоит дело и с такой популярной игрой, как шахматы! Эта игра имеет смысл только до тех пор, пока не найдено ее решение. Теоретически доказано, что решение существует и исход шахматной игры в сущности предрешен: если каждая сторона будет пользоваться своей оптимальной стратегией, то игра либо всегда будет кончаться выигрышем белых, либо всегда выигрышем черных, либо всегда ничьей! Но чем же именно? Мы пока этого не знаем, так как число возможных стратегий слишком велико, чтобы можно было построить матрицу шахматной игры и найти в ней седловую точку... Наверное, любители шахмат заинтересованы в том, чтобы шахматная игра была решена еще не скоро. Заметим в заключение, что седловых точек в матрице может быть не одна, а несколько; тог да решений игры в чистых стратегиях существует столько, сколько имеется седловых точек. Каждое из них дает выигрыш, равный цене игры.