Projeções de velocidade e aceleração. Movimento linear uniforme Projeções de velocidade no eixo

As projeções das velocidades de dois pontos de um corpo rígido sobre um eixo que passa por esses pontos são iguais entre si.
v UMA cos α = v B cos β.

Prova

Vamos escolher um sistema de coordenadas fixas retangulares Oxyz. Tomemos dois pontos arbitrários de um corpo rígido A e B. Deixar (xA, yA, zA) E (xB, yB, zB)- coordenadas desses pontos. Quando um corpo rígido se move, eles são funções do tempo t. Diferenciando em relação ao tempo, obtemos projeções das velocidades dos pontos.
, .

Aproveitemos o fato de que quando um corpo rígido se move, a distância | AB | entre os pontos permanece constante, ou seja, não depende do tempo t. Também constante é o quadrado da distância
.
Vamos diferenciar esta equação em relação ao tempo t, aplicando a regra de diferenciação de uma função complexa.

Vamos encurtar 2 .
(1)

Vamos apresentar o vetor
.
Então a equação (1) pode ser representado como um produto escalar de vetores.
(2)
Realizamos transformações.
;
(3) .
Pela propriedade do produto escalar
,
.
Substitua em (3) e reduzir em | AB |.
;

Q.E.D.

Velocidade relativa

Considere o movimento do ponto B em relação ao ponto A. Vamos apresentar a velocidade relativa do ponto B em relação a A.

Então a equação (2) pode ser reescrito na forma
.

Ou seja, a velocidade relativa é perpendicular ao vetor traçado do ponto A ao ponto B. Como o ponto B é tomado arbitrariamente, a velocidade relativa de qualquer ponto em um corpo rígido é perpendicular ao vetor raio desenhado a partir do ponto A. Ou seja, em relação ao ponto A, o corpo sofre movimento rotacional. A velocidade relativa dos pontos do corpo é determinada pela fórmula do movimento rotacional
.

O ponto A, em relação ao qual o movimento é considerado, é frequentemente chamado pólo.

A velocidade absoluta do ponto B em relação a um sistema de coordenadas fixo pode ser escrita da seguinte forma:
.
É igual à soma da velocidade do movimento translacional de um ponto arbitrário A (pólo) e a velocidade do movimento rotacional em relação ao pólo A.

Exemplo de solução de problema

A tarefa

Rodas 1 e 2 com raios R 1 = 0,15m e R 2 = 0,3m, respectivamente, são conectados por dobradiças a uma haste de 3 comprimentos | AB | = 0,5m. A roda 1 gira com velocidade angular ω 1 = 1 rad/s. Para a posição do mecanismo mostrado na figura, determine a velocidade angular ω 2 rodas 2. Pegue L = 0,3m.

A solução do problema

O ponto A se move em um círculo raio R 1 em torno do centro de rotação O 1 . A velocidade do ponto A é determinada pela fórmula
VA = ω 1 R 1.
O vetor é direcionado verticalmente (perpendicular a O 1A).

O ponto B se move em um círculo raio R 2 em torno do centro de rotação O 2 . A velocidade do ponto B é determinada pela fórmula
V B = ω 2 R 2.
Daqui
.
O vetor é direcionado horizontalmente (perpendicular a O 2B).

Estamos construindo triângulo retângulo ABC. Aplicamos o teorema de Pitágoras.
(m)
.
O cosseno do ângulo entre o vetor velocidade e a reta AB, na direção do vetor, é igual a
.

Por teorema da projeção de velocidade dois pontos de um corpo rígido em linha reta temos:
VA cos α = V B cos β.
Daqui
.

Encontrando a velocidade angular da roda 2.
rad/s .

Definição

O movimento retilíneo uniforme é o movimento a uma velocidade constante, no qual não há aceleração e a trajetória do movimento é uma linha reta.

A velocidade do movimento retilíneo uniforme não depende do tempo e em cada ponto da trajetória é direcionada da mesma forma que o movimento do corpo. Ou seja, o vetor deslocamento coincide em direção com o vetor velocidade. Neste caso, a velocidade média para qualquer período de tempo é igual à velocidade instantânea: $\left\langle v\right\rangle =v$

Definição

A velocidade do movimento retilíneo uniforme é uma grandeza vetorial física igual à razão entre o movimento do corpo $\overrightarrow(S)$ por qualquer período de tempo e o valor deste intervalo t:

$$\overrightarrow(v)=\frac(\overrightarrow(S))(t)$$

Assim, a velocidade do movimento retilíneo uniforme mostra quanto movimento um ponto material faz por unidade de tempo.

O deslocamento durante o movimento linear uniforme é determinado pela fórmula:

$$ \overrightarrow(S) = \overrightarrow(v) \cdot t $$

A distância percorrida durante o movimento retilíneo é igual ao módulo de deslocamento. Se a direção positiva do eixo OX coincide com a direção do movimento, então a projeção da velocidade no eixo OX é igual à magnitude da velocidade e é positiva: $v_x = v$, ou seja, $v $> $0$

A projeção do deslocamento no eixo OX é igual a: $s = v_t = x - x0$

onde $x_0$ é a coordenada inicial do corpo, $x$ é a coordenada final do corpo (ou a coordenada do corpo a qualquer momento)

A equação do movimento, ou seja, a dependência das coordenadas do corpo em relação ao tempo $x = x(t)$, assume a forma: $x = x_0 + v_t$

Se a direção positiva do eixo OX for oposta à direção do movimento do corpo, então a projeção da velocidade do corpo no eixo OX é negativa, a velocidade é menor que zero ($v $

A dependência da projeção da velocidade do corpo no tempo é mostrada na Fig. 1. Como a velocidade é constante ($v = const$), o gráfico da velocidade é uma linha reta paralela ao eixo do tempo Ot.

Arroz. 1. Dependência da projeção da velocidade de um corpo no tempo para movimento retilíneo uniforme.

A projeção do movimento no eixo coordenado é numericamente igual à área do retângulo OABC (Fig. 2), pois a magnitude do vetor movimento é igual ao produto do vetor velocidade pelo tempo durante o qual o movimento foi feito.

Arroz. 2. Dependência da projeção do deslocamento do corpo no tempo para movimento retilíneo uniforme.

Um gráfico de deslocamento versus tempo é mostrado na Fig. 3. Fica claro no gráfico que a projeção da velocidade no eixo Ot é numericamente igual à tangente do ângulo de inclinação do gráfico ao eixo do tempo:

Arroz. 3. Dependência da projeção do deslocamento do corpo no tempo para movimento retilíneo uniforme.

A dependência da coordenada no tempo é mostrada na Fig. 4. Pela figura fica claro que

tg $\alpha $1 $>$ tg $\alpha $2, portanto, a velocidade do corpo 1 é maior que a velocidade do corpo 2 (v1 $>$ v2).

tg $\alfa $3 = v3 $

Arroz. 4. Dependência das coordenadas do corpo no tempo para movimento retilíneo uniforme.

Se o corpo estiver em repouso, então o gráfico de coordenadas é uma linha reta paralela ao eixo do tempo, ou seja, x = x0

Problema 1

Dois trens se movem um em direção ao outro em trilhos paralelos. A velocidade do primeiro trem é de 10 metros por segundo, o comprimento do primeiro trem é de 500 metros. A velocidade do segundo trem é de 30 metros por segundo, o comprimento do segundo trem é de 300 metros. Determine quanto tempo levará para o segundo trem passar pelo primeiro.

Dado: $v_1$=10 m/s; $v_2$=30m/s; $L_1$=500m; $L_2$=300 milhões

Encontre t --- ?

O tempo que os trens levarão para se cruzarem pode ser determinado dividindo o comprimento total dos trens pela sua velocidade relativa. A velocidade do primeiro trem em relação ao segundo é determinada pela fórmula v= v1+v2 Então a fórmula para determinar o tempo assume a forma: $t=\frac(L_1+L_2)(v_1+v_2)=\frac(500 +300)(10+30)= 20\c$

Resposta: O segundo trem passará pelo primeiro em 20 segundos.

Problema 2

Determine a velocidade do fluxo do rio e a velocidade do barco em águas paradas, se for sabido que o barco percorre uma distância de 300 quilômetros rio abaixo em 4 horas, e contra a corrente em 6 horas.

Dado: $L$=300000 m; $t_1$=14400 segundos; $t_2$=21600s

Encontre: $v_p$ - ?; $v_k$ - ?

A velocidade do barco ao longo do rio em relação à costa é $v_1=v_k+v_p$, e contra a corrente $v_2=v_k-v_p$. Vamos escrever a lei do movimento para ambos os casos:

Resolvidas as equações de vp e vk, obtemos fórmulas para calcular a velocidade do fluxo do rio e a velocidade do barco.

Velocidade do fluxo do rio: $v_p=\frac(L\left(t_2-t_1\right))(2t_1t_2)=\frac(300000\left(21600-14400\right))(2\times 14400\times 21600)=3 0,47\m/s$

Velocidade do barco: $v_к=\frac(L\left(t_2+t_1\right))(2t_1t_2)=\frac(300000\left(21600+14400\right))(2\times 14400\times 21600)=17, 36\m/s$

Resposta: a velocidade do rio é 3,47 metros por segundo, a velocidade do barco é 17,36 metros por segundo.

Instruções

Por si só, um determinado vetor não dá nada em termos de descrição matemática do movimento, por isso é considerado em projeções nos eixos coordenados. Pode ser um eixo de coordenadas (raio), dois (plano) ou três (espaço). Para encontrar as projeções, você precisa descartar perpendiculares das extremidades do vetor no eixo.

A projeção é como uma “sombra” do vetor. Se o corpo se mover perpendicularmente ao eixo em consideração, a projeção degenerará em ponto e terá valor zero. Ao mover-se paralelamente ao eixo de coordenadas, a projeção coincide com o vetor. E quando o corpo se move de modo que seu vetor velocidade seja direcionado em um certo ângulo φ em relação ao eixo x, a projeção no eixo x será um segmento: V(x)=V cos(φ), onde V é o módulo. A projeção é positiva quando a direção do vetor velocidade coincide com a direção positiva do eixo coordenado e negativa no caso oposto.

Deixe o movimento de um ponto ser dado pelas equações de coordenadas: x=x(t), y=y(t), z=z(t). Então as funções de velocidade projetadas nos três eixos terão a forma, respectivamente, V(x)=dx/dt=x"(t), V(y)=dy/dt=y"(t), V(z) = dz/dt=z"(t), ou seja, para encontrar a velocidade você precisa tirar derivadas. O próprio vetor velocidade será expresso pela equação V=V(x) i+V(y) j+V( z) k, onde i, j, k – vetores unitários dos eixos coordenados x, y, z. O módulo de velocidade pode ser calculado pela fórmula V=√(V(x)^2+V(y)^2+V. (z)^2).

Os gráficos permitem visualizar a dependência da velocidade e da aceleração com o tempo quando um corpo (ponto) se move.
Gráficos de projeção de módulo e aceleração
Se um ponto se move com aceleração constante, então os gráficos do módulo e da projeção da aceleração serão retas, paralelas ao eixo do tempo. Deve-se lembrar que o módulo é uma quantidade não negativa, portanto o gráfico do módulo de aceleração não pode estar localizado abaixo do eixo do tempo (Fig. 1.50). As projeções de aceleração podem ter valores positivos e negativos (Fig. 1.51, a, b). A Figura 1.51, b mostra que a aceleração é constante e direcionada opostamente ao eixo X.
Arroz. 1,50

Ó
No gráfico da projeção da aceleração, você pode encontrar, além de ah, a mudança na projeção da velocidade. É numericamente igual à área do retângulo OABC ou OKMN, pois Avx = axt, e axt é numericamente igual à área do retângulo OABC ou OKMN.
A área é tomada com sinal de menos se estiver localizada abaixo do eixo do tempo, o que corresponde à Figura 1.51, b, onde Avx = axt
As fórmulas de projeção de velocidade (1.17.3) são funções lineares do tempo. Portanto, os gráficos das projeções do módulo e da velocidade são retas. A Figura 1.52 mostra gráficos do módulo de velocidade versus tempo para três movimentos com aceleração constante. Os gráficos 2 e 3 correspondem a movimentos cujos módulos de velocidade inicial correspondem aos segmentos OA e OB. O Gráfico 1 corresponde ao movimento com módulo de velocidade uniformemente crescente e velocidade inicial igual a zero. O gráfico 3 corresponde ao movimento com módulo de velocidade decrescendo uniformemente até zero. O segmento OS é numericamente igual ao tempo que o ponto se move até parar. Arroz. 1,52
Gráfico de projeção de velocidade
Os gráficos do módulo de velocidade contêm /1
Ó
Eles contêm menos informações do que os gráficos de projeção de velocidade, uma vez que os primeiros gráficos não podem ser usados ​​para julgar a direção do movimento em relação aos eixos coordenados.
Arroz. 1,53
A Figura 1.53 mostra os gráficos 1 e 2 das projeções de velocidade de dois pontos. Ambos têm velocidade inicial zero. O primeiro ponto passa para
na direção positiva do eixo X, e como Avx > 0, então a1x > 0. O segundo ponto se move oposto ao eixo X, pois Avx A Figura 1.54 também mostra os gráficos 1, 2 das projeções de velocidade de dois pontos. Ambos possuem o mesmo valor da projeção da velocidade inicial, correspondente ao segmento OA. De acordo com o gráfico 1, o ponto se move no sentido positivo do eixo X, e a magnitude e a projeção da velocidade aumentam uniformemente.
De acordo com o gráfico 2 (ver Fig. 1.54), o ponto durante um determinado período de tempo (segmento OB) se move na direção positiva do eixo X (vx > 0) com o valor da projeção da velocidade diminuindo uniformemente até zero (parada). Depois disso, a projeção da velocidade torna-se negativa; isso significa que o ponto começou a se mover na direção oposta à direção positiva do eixo X. Nesse caso, a projeção do módulo de velocidade e, portanto, o módulo da velocidade, aumenta uniformemente. A projeção da aceleração de um ponto é negativa. Como a projeção da velocidade do ponto diminui uniformemente, a projeção da aceleração permanece constante. Portanto, o ponto se move com aceleração constante.
Os gráficos de velocidade e aceleração versus tempo em aceleração constante são bastante simples. O principal aqui é se acostumar com a imagem das grandezas positivas e negativas e não confundir os gráficos dos módulos e das projeções.
? 1. Mostre que o ângulo de inclinação do gráfico de projeção da velocidade em relação ao eixo do tempo é tanto maior quanto maior for o módulo de projeção da aceleração, ou seja, a projeção da aceleração é o coeficiente angular da reta.
2. A Figura 1.55 mostra os gráficos 1 e 2 das projeções de velocidade de dois pontos. Prove que os gráficos correspondem a um movimento com aceleração que não muda tanto em magnitude quanto em direção.? Arroz. 1.54 Fig. 1,55
Como muda a velocidade de um ponto, o gráfico da projeção de sua velocidade em função do tempo é mostrado pela linha 1 (ver Fig. 1.55)? A que correspondem os segmentos OC e OX>?
Como a velocidade do ponto mudou (ver gráfico 2 na Figura 1.55)? A que corresponde o segmento do sistema operacional? Onde está a aceleração de um ponto direcionado em relação ao eixo XI?

1.2. Movimento em linha reta

1.2.3. Cálculo gráfico de grandezas cinemáticas

Algumas características cinemáticas do movimento podem ser calculadas graficamente.

Definição de velocidade projetada

Usando gráficos da dependência da coordenada no tempo x (t) (ou a distância percorrida no tempo S (t)), você pode calcular o correspondente projeção de velocidade v x em um determinado momento (Fig. 1.11), por exemplo t = t 1.

Para fazer isso você deve:

1) marcar no eixo do tempo o valor indicado do momento t 1;

2) restaurar a perpendicular à intersecção com o gráfico x (t);

5) determine a projeção da velocidade no eixo do Boi como a tangente do ângulo tangente à direção positiva do eixo do tempo:

v x (t 1) = tan α 1 .

Deve-se notar que a projeção da velocidade v x é

• positivo se a tangente ao gráfico formar um ângulo agudo com a direção do eixo t (ver Fig. 1.11);
• negativo se a tangente ao gráfico formar um ângulo obtuso com a direção do eixo t (Fig. 1.12).

Na Fig. A Figura 1.12 mostra um gráfico da coordenada versus tempo x (t). Para determinar a projeção da velocidade no eixo do Boi no tempo t 3, uma perpendicular t = t 3 é desenhada. No ponto de intersecção da perpendicular com a dependência x (t) é traçada uma linha tangente. Forma um ângulo obtuso com o eixo t. Portanto, a projeção da velocidade v x no eixo do Boi no tempo indicado é um valor negativo:

v x (t 3) = − | tan α 3 | .

Arroz. 1.12

Definição de projeção de aceleração

Usando o gráfico da projeção da velocidade em função do tempo v x (t), você pode calcular a projeção da aceleração a x no eixo correspondente em um determinado momento (Fig. 1.13), por exemplo t = t 2.

Para fazer isso você deve:

1) marcar no eixo do tempo o valor indicado do momento t 2;

2) restaurar a perpendicular à intersecção com o gráfico v x (t);

3) traçar uma reta tangente ao gráfico no ponto de sua intersecção com a perpendicular;

5) determine a projeção da aceleração no eixo do Boi como a tangente do ângulo tangente à direção positiva do eixo do tempo:

a x (t 2) = tan α 2 .

Deve-se notar que a projeção da aceleração a x é

• positivo se a tangente ao gráfico formar um ângulo agudo com a direção do eixo t (ver Fig. 1.13);

Arroz. 1.13

• negativo se a tangente ao gráfico formar um ângulo obtuso com a direção do eixo t (Fig. 1.14).

Arroz. 1.14

Explicação do uso do algoritmo. Na Fig. A Figura 1.14 mostra um gráfico da projeção da velocidade versus tempo v x (t). Para determinar a projeção da aceleração no eixo do Boi no tempo t 4, uma perpendicular t = t 4 é desenhada. No ponto de intersecção da perpendicular com a dependência v x (t) uma linha tangente é desenhada. Forma um ângulo obtuso com o eixo t. Portanto, a projeção da aceleração a x no eixo do Boi no tempo especificado é um valor negativo:

uma x (t 4) = − | tgα4 | .

Determinação da distância percorrida e módulo de deslocamento (combinação de movimento uniforme e uniformemente acelerado)

Usando o gráfico da projeção da velocidade em função do tempo v x (t), você pode calcular a distância percorrida e módulo de viagem ponto material (corpo) por um determinado período de tempo ∆t = t 2 − t 1 .

Para calcular as características especificadas usando um gráfico contendo apenas seções uniformemente acelerado e movimento uniforme, segue:

4) calcule a distância percorrida S e o módulo de deslocamento ∆r como somas:

∆r = S 1 + S 2 + ... + S n,

onde S 1, S 2, ..., S n são os caminhos percorridos pelo ponto material em cada uma das seções de movimento uniformemente acelerado e uniforme.

Na Fig. A Figura 1.15 mostra a dependência da projeção da velocidade com o tempo para um ponto material (corpo) movendo-se uniformemente acelerado na seção AB, uniformemente na seção BC, uniformemente acelerado na seção CD, mas com uma aceleração diferente da aceleração na seção AB.

Arroz. 1,15

Neste caso, a distância percorrida S e o módulo de deslocamento ∆r coincidem e são calculados pelas fórmulas:

S = S 1 + S 2 + S 3,

∆r = S 1 + S 2 + S 3,

onde S 1 é o caminho percorrido por um ponto material (corpo) na seção AB; S 2 - caminho percorrido no trecho BC; S 3 - caminho percorrido no trecho CD; S 1 , S 2 , S 3 são calculados usando o algoritmo fornecido acima.

Determinação da distância percorrida e módulo de deslocamento (combinação de movimento uniforme, uniformemente acelerado e uniformemente desacelerado)

Para calcular as características indicadas utilizando o gráfico v x (t), contendo seções não apenas uniformemente aceleradas e uniformes, mas também igualmente lento movimento, você deve:

1) marque o intervalo de tempo especificado ∆t no eixo do tempo;

2) restaurar perpendiculares dos pontos t = t 1 e t = t 2 até que se cruzem com o gráfico v x (t);

4) calcule a distância percorrida S como a soma:

S = S 1 + S 2 + ... + S n,

onde S 1, S 2, ..., S n são os caminhos percorridos pelo ponto material em cada uma das seções;

5) calcular módulo de viagem como a diferença entre o caminho total percorrido pelo ponto material até o ponto de parada e o caminho percorrido pelo ponto material após a parada.

Explicação do uso do algoritmo. Na Fig. A Figura 1.16 mostra a dependência da velocidade em relação ao tempo para um ponto material (corpo) movendo-se uniformemente acelerado na seção AB, uniformemente na seção BC, uniformemente lento na seção CF.

Arroz. 1.16

No caso em que há um trecho de câmera lenta uniformemente (incluindo um ponto de parada - ponto D), a distância percorrida S e o módulo de deslocamento ∆r não coincidem. A distância percorrida é calculada usando a fórmula

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4,

onde S 1 é o caminho percorrido por um ponto material (corpo) na seção AB; S 2 - caminho percorrido no trecho BC; S 3 - caminho percorrido no trecho CD; S 4 - caminho percorrido no trecho DF; S 1 , S 2 , S 3 , S 4 são calculados de acordo com o algoritmo fornecido acima; Deve-se notar que o valor de S 4 é positivo.

O módulo de deslocamento é calculado usando a fórmula

∆r = S 1 + S 2 + S 3 − S 4,

subtraindo o caminho percorrido pelo ponto material (corpo) após a rotação.

Determinação do módulo de mudança de velocidade

A partir do gráfico da projeção da aceleração em função do tempo a x (t) pode-se encontrar módulo de mudança de velocidade∆v de um ponto material (corpo) para um determinado intervalo de tempo ∆t = t 2 − t 1 (Fig. 1.17).

Para fazer isso você deve:

1) marque o intervalo de tempo especificado ∆t no eixo do tempo;

2) restaurar perpendiculares dos pontos t = t 1 e t = t 2 até que se cruzem com o gráfico a x (t);

4) calcule o módulo de mudança na velocidade para o intervalo de tempo especificado como uma área.

Exemplo 4. O gráfico da projeção da velocidade do primeiro corpo no eixo do Boi em função do tempo é representado por uma reta que passa pelos pontos (0; 6) e (3; 0), a segunda - pelos pontos ( 0; 0) e (8; 4), onde a velocidade é dada em metros por segundo, o tempo é em segundos. Quantas vezes os módulos de aceleração do primeiro e do segundo corpo diferem?

Solução. Gráficos de projeções de velocidade versus tempo para ambos os corpos são mostrados na figura.

A projeção da aceleração do primeiro corpo é definida como a tangente do ângulo obtuso α 1 ; seu módulo é calculado pela fórmula

| um x 1 | = | tan α 1 | = | bronzeado (180 − α 3) | = 6 3 = 2 m/s 2.

O primeiro corpo se move igualmente devagar; o módulo de sua aceleração é a 1 = = 2 m/s 2.

A projeção da aceleração do segundo corpo é definida como a tangente do ângulo agudo α 2 ; seu módulo é calculado pela fórmula

a x 2 = tan α 2 = 4 8 = 0,5 m/s 2.

O segundo corpo se move com aceleração uniforme; o módulo de sua aceleração é a 2 = 0,5 m/s 2.

A proporção necessária dos módulos de aceleração do primeiro e segundo corpos é igual a:

uma 1 uma 2 = 2 0,5 = 4 .

A aceleração do primeiro corpo é 4 vezes maior que a aceleração do segundo corpo.

Exemplo 5. O gráfico da coordenada y versus tempo para o primeiro corpo é representado como uma linha reta que passa pelos pontos (0; 0) e (5; 3), o segundo - pelos pontos (3; 0) e (6; 6), onde a coordenada é dada em metros, o tempo em segundos. Determine a razão dos módulos das projeções de velocidade dos corpos indicados.

Solução. Gráficos da coordenada y versus tempo para ambos os corpos são mostrados na figura.

A projeção da velocidade do primeiro corpo é definida como a tangente do ângulo α 1; seu módulo é calculado pela fórmula

v y 1 = tan α 1 = 3 5 = 0,6 m/s.

A projeção da velocidade do segundo corpo é definida como a tangente do ângulo α 2; seu módulo é calculado pela fórmula

v y 2 = tan α 2 = 6 3 = 2 m/s.

Ambas as projeções de velocidade têm sinal positivo; portanto, ambos os corpos se movem com aceleração uniforme.

A razão dos módulos das projeções de velocidade dos corpos indicados é:

| v e 2 | | v e 1 | = 2 0,6 ≈ 3 .

A magnitude da projeção da velocidade do segundo corpo é aproximadamente 3 vezes maior que a magnitude da projeção da velocidade do segundo corpo.

Exemplo 6. O gráfico da dependência da velocidade de um corpo com o tempo é representado como uma linha reta que passa pelos pontos (0; 4,0) e (2,5; 0), onde a velocidade é dada em metros por segundo, tempo - em segundos. Quantas vezes a distância percorrida pelo corpo é maior que o módulo de deslocamento em 6,0 s de movimento?

Solução. Um gráfico da velocidade do corpo em função do tempo é mostrado na figura. O ponto de parada τ repouso = 2,5 s cai no intervalo de 0 s a 6,0 s.

Portanto, a distância percorrida é a soma

S = S 1 + S 2,

e o módulo de deslocamento é a diferença

| Δr → | = | S 1 - S 2 | ,

onde S 1 é o caminho percorrido pelo corpo no intervalo de tempo de 0 s a 2,5 s; S 2 é o caminho percorrido pelo corpo no intervalo de tempo de 2,5 s a 6,0 s.

Calculamos os valores de S 1 e S 2 graficamente como as áreas dos triângulos mostrados na figura:

S 1 = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 2,5 = 5,0 m;

S 2 = 1 2 ⋅ (6,0 − 2,5) ⋅ 5,6 = 9,8 m.

Nota: o valor da velocidade v = 5,6 m/s no tempo t = 6,0 s é obtido a partir da semelhança de triângulos, ou seja, da atitude

v 4,0 = 6,0 − 2,5 2,5 − 0 .

Vamos calcular a distância percorrida:

S = S 1 + S 2 = 5,0 + 9,8 = 14,8m

e a quantidade de movimento:

| Δr → | = | S 1 − S 2 | = | 5,0 - 9,8 | = 4,8m.

Vamos encontrar a relação necessária entre a distância percorrida e o módulo de deslocamento:

S | Δr → | = 14,8 4,8 ≈ 3,1.

A distância percorrida é aproximadamente 3,1 vezes o deslocamento.