Como calcular metros quadrados? Trinômio quadrado e suas raízes.
Muitas vezes, ao resolver problemas, nos deparamos com grandes números dos quais precisamos extrair Raiz quadrada. Muitos alunos decidem que isso é um erro e começam a resolver o exemplo inteiro. Sob nenhuma circunstância você deve fazer isso! Há duas razões para isso:
- Raízes de grandes números aparecem em problemas. Principalmente nos de texto;
- Existe um algoritmo pelo qual essas raízes são calculadas quase oralmente.
Consideraremos esse algoritmo hoje. Talvez algumas coisas pareçam incompreensíveis para você. Mas se você prestar atenção a esta lição, receberá uma arma poderosa contra raízes quadradas.
Então, o algoritmo:
- Limite a raiz necessária acima e abaixo a números múltiplos de 10. Assim, reduziremos o intervalo de pesquisa para 10 números;
- Destes 10 números, elimine aqueles que definitivamente não podem ser raízes. Como resultado, 1-2 números permanecerão;
- Eleve ao quadrado esses 1-2 números. Aquele cujo quadrado for igual ao número original será a raiz.
Antes de colocar esse algoritmo em prática, vejamos cada etapa individual.
Limitação de raiz
Em primeiro lugar, precisamos descobrir entre quais números está localizada a nossa raiz. É altamente desejável que os números sejam múltiplos de dez:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Obtemos uma série de números:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
O que esses números nos dizem? É simples: temos limites. Tomemos, por exemplo, o número 1296. Está entre 900 e 1600. Portanto, sua raiz não pode ser menor que 30 e maior que 40:
[Legenda da foto]
O mesmo se aplica a qualquer outro número a partir do qual você possa encontrar a raiz quadrada. Por exemplo, 3364:
[Legenda da foto]Assim, em vez de um número incompreensível, obtemos um intervalo muito específico no qual se encontra a raiz original. Para restringir ainda mais a área de pesquisa, passe para a segunda etapa.
Eliminando números obviamente desnecessários
Então, temos 10 números - candidatos à raiz. Conseguimos muito rapidamente, sem pensamentos complexos e multiplicação em uma coluna. É hora de seguir em frente.
Acredite ou não, agora reduziremos o número de números candidatos para dois - novamente sem cálculos complicados! Basta conhecer a regra especial. Aqui está:
O último dígito do quadrado depende apenas do último dígito número original.
Ou seja, basta olhar para o último dígito do quadrado e entenderemos imediatamente onde termina o número original.
Existem apenas 10 dígitos que podem ficar em último lugar. Vamos tentar descobrir em que eles se transformam quando elevados ao quadrado. Dê uma olhada na tabela:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Esta tabela é mais um passo para calcular a raiz. Como você pode ver, os números na segunda linha revelaram-se simétricos em relação aos cinco. Por exemplo:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Como você pode ver, o último dígito é o mesmo em ambos os casos. Isto significa que, por exemplo, a raiz de 3364 deve terminar em 2 ou 8. Por outro lado, lembramos a restrição do parágrafo anterior. Nós temos:
[Legenda da foto] Os quadrados vermelhos indicam que ainda não conhecemos este número. Mas a raiz está no intervalo de 50 a 60, onde existem apenas dois números que terminam em 2 e 8:
[Legenda da foto]Isso é tudo! De todas as raízes possíveis, deixamos apenas duas opções! E isso é no caso mais difícil, porque o último dígito pode ser 5 ou 0. E então haverá apenas um candidato para as raízes!
Cálculos finais
Então, temos 2 números candidatos restantes. Como você sabe qual é a raiz? A resposta é óbvia: eleve ambos os números ao quadrado. Aquele que ao quadrado dá o número original será a raiz.
Por exemplo, para o número 3364 encontramos dois números candidatos: 52 e 58. Vamos elevá-los ao quadrado:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.
Isso é tudo! Acontece que a raiz é 58! Ao mesmo tempo, para simplificar os cálculos, usei a fórmula dos quadrados da soma e da diferença. Graças a isso, nem precisei multiplicar os números em uma coluna! Este é outro nível de otimização de cálculo, mas, claro, é totalmente opcional :)
Exemplos de cálculo de raízes
A teoria é, claro, boa. Mas vamos verificar na prática.
[Legenda da foto]
Primeiro, vamos descobrir entre quais números está o número 576:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Agora vamos dar uma olhada no último número. É igual a 6. Quando isso acontece? Somente se a raiz terminar em 4 ou 6. Obtemos dois números:
Resta apenas elevar ao quadrado cada número e compará-lo com o original:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Ótimo! O primeiro quadrado acabou sendo igual ao número original. Então esta é a raiz.
Tarefa. Calcule a raiz quadrada:
[Legenda da foto]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Vejamos o último dígito:
1369 → 9;
33; 37.
Esquadre:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.
Aqui está a resposta: 37.
Tarefa. Calcule a raiz quadrada:
[Legenda da foto]
Limitamos o número:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Vejamos o último dígito:
2704 → 4;
52; 58.
Esquadre:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Recebemos a resposta: 52. O segundo número não precisará mais ser elevado ao quadrado.
Tarefa. Calcule a raiz quadrada:
[Legenda da foto]
Limitamos o número:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Vejamos o último dígito:
4225 → 5;
65.
Como você pode ver, após a segunda etapa resta apenas uma opção: 65. Esta é a raiz desejada. Mas ainda vamos acertar e verificar:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Está tudo correto. Anotamos a resposta.
Conclusão
Infelizmente, não é melhor. Vejamos as razões. Existem dois deles:
- Em qualquer exame normal de matemática, seja o Exame Estadual ou o Exame Estadual Unificado, é proibido o uso de calculadoras. E se você levar uma calculadora para a aula, poderá ser facilmente expulso do exame.
- Não seja como os americanos estúpidos. Que não são como raízes - não podem somar dois números primos. E quando veem frações, geralmente ficam histéricos.
Escolha uma fita métrica ou fita métrica. Escolha uma fita métrica ou fita marcada com centímetros (cm) ou metros (m). Este dispositivo facilitará o cálculo da área em metros quadrados, já que foram desenvolvidos no mesmo sistema de medição.
- Se você conseguir encontrar uma fita métrica em pés ou polegadas, meça a área usando as unidades disponíveis e depois passe para a etapa que descreve como converter outras unidades em metros quadrados.
Meça o comprimento da área que você escolheu. Um metro quadrado é uma unidade de medida para a área ou tamanho de um objeto bidimensional, como um chão ou campo. Meça o comprimento de um lado de um canto ao outro e anote o resultado.
- Se o comprimento for superior a um metro, conte metros e centímetros. Por exemplo, 2 metros e 35 centímetros.
- Se o objeto que você está medindo não for um retângulo ou quadrado, leia a terceira seção deste artigo - “Medindo a área de formas complexas”.
Se você não conseguir medir o comprimento de uma vez, faça isso em etapas. Disponha a fita métrica e faça uma marca onde ela termina (por exemplo, 1 metro ou 25 centímetros), depois estenda-a novamente e comece pela área marcada. Repita até medir todo o comprimento. Em seguida, some todas as medidas.
Meça a largura. Use a mesma fita métrica para medir a largura do objeto. Você precisa começar a medir colocando a fita métrica em um ângulo de 90º em relação ao comprimento do objeto que você já mediu. Ou seja, duas linhas de um quadrado adjacentes uma à outra. Anote também os números resultantes no papel.
- Se o comprimento medido for ligeiramente inferior a um metro, arredonde para o centímetro mais próximo ao fazer as medições. Por exemplo, se a largura for ligeiramente maior que a marca de 1 metro e 8 centímetros, basta escrever “1 m 8 cm”. e não conte milímetros.
Converta centímetros em metros. Normalmente as medições não podem ser feitas exatamente em metros. Você obterá indicadores em metros e centímetros, por exemplo “2 metros e 35 centímetros”. 1 centímetro = 0,01 metros e, portanto, você pode converter centímetros em metros movendo a vírgula decimal 2 dígitos para a esquerda. Aqui estão alguns exemplos.
- 35cm = 0,35m, então 2m 35cm = 2m + 0,35m = 2,35m
- 8cm = 0,08m, então 1m 8cm = 1,08m
Multiplique o comprimento pela largura. Depois de converter todas as medidas em metros, multiplique o comprimento pela largura para obter a área do objeto que está sendo medido. Use uma calculadora se necessário. Por exemplo:
- 2,35m x 1,08m = 2,538 metros quadrados (m2).
Arredondar para cima. Se você obtiver muitos números após a vírgula, por exemplo, 2,538 metros quadrados, arredonde, por exemplo, para 2,54 metros quadrados. É provável que você não tenha medido com precisão de milímetro, então os números finais não serão precisos de qualquer maneira. Na maioria dos casos arredondamos para o centímetro mais próximo (0,01m). Se precisar de medições mais precisas, leia este material.
- Sempre que você multiplicar dois números com a mesma unidade de medida (por exemplo, metros), a resposta deve ser escrita na mesma unidade de medida (m 2 ou metros quadrados).
Para calcular a área e o perímetro de um quadrado, é necessário entender os conceitos dessas grandezas. Um quadrado é um retângulo com apenas quatro lados iguais que formam um ângulo de 90° entre si. O perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados. A área é o produto do comprimento de uma figura retangular pela sua largura.
Área de um quadrado e como encontrá-la
Como mencionado acima, um quadrado é um retângulo com 4 lados iguais, então a resposta à pergunta: “como encontrar a área de um quadrado” é a fórmula: S = a*a ou S = a 2 , onde a é o lado do quadrado. Com base nesta fórmula, é fácil encontrar o lado de um quadrado se a área for conhecida. Para fazer isso, você precisa extrair o quadrado do valor indicado.
Por exemplo, S = 121, portanto, a = √121 = 11. Se o valor fornecido não estiver na tabela de quadrados, então você pode usar a calculadora: S = 94, a = √94 = 9,7.
Como encontrar o perímetro de um quadrado
O perímetro de um quadrado é encontrado usando a fórmula fácil: P = 4a, onde a é o lado do quadrado.
Exemplo:
- lado do quadrado = 5, portanto P = 4*5 = 20
- lado do quadrado = 3, portanto P = 4*3 = 12
Mas há problemas em que a área está claramente indicada, mas é preciso encontrar o perímetro. Ao resolver, você precisará das fórmulas apresentadas anteriormente.
Por exemplo: como encontrar o perímetro de um quadrado se a área é 144?
Etapas da solução:
- Descubra o comprimento de um lado: a = √144 = 12
- Encontre o perímetro: P = 4*12 = 48.
Encontrando o perímetro de um quadrado inscrito
Existem várias outras maneiras de encontrar o perímetro de um quadrado. Consideremos um deles: encontrar o perímetro através do raio do círculo circunscrito. Aqui aparece um novo termo “quadrado inscrito” - este é um quadrado cujos vértices estão em um círculo.
Algoritmo de solução:
- como estamos considerando um quadrado, a fórmula pode ser expressa da seguinte forma: a 2 + a 2 = (2r) 2 ;
- então a equação deve ser simplificada: 2a 2 = 4(r)2;
- divida a equação por 2: (a 2) = 2(r)2;
- extraia a raiz: a = √(2r).
Como resultado, obtemos a última fórmula: a (lado do quadrado) = √(2r). 
- O lado encontrado do quadrado é multiplicado por 4, então a fórmula padrão para encontrar o perímetro é aplicada: P = 4√(2r).
Tarefa:
Dado um quadrado inscrito numa circunferência, o seu raio é 5. Isto significa que a diagonal do quadrado é 10. Aplicamos o teorema de Pitágoras: 2(a 2 ) = 10 2 , ou seja 2a 2 = 100. Divida o resultado por dois e o resultado será: a 2
= 50. Como este não é um valor tabular, usamos uma calculadora: a = √50 = 7,07. Multiplique por 4: P = 4*7,07 = 28,2. Problema resolvido! 
Vamos considerar mais uma questão
Muitas vezes nos problemas encontramos outra condição: como encontrar a área de um quadrado se o perímetro é conhecido?
Já consideramos todas as fórmulas necessárias, portanto, para resolver problemas deste tipo é necessário aplicá-las com habilidade e conectá-las entre si. Vamos direto para um exemplo ilustrativo: A área de um quadrado é 25 cm 2
, encontre seu perímetro. 
Etapas da solução:
- Encontre o lado do quadrado: a = √25 = 5.
- Encontramos o próprio perímetro: P = 4*a = 4*5 = 20.
Resumindo, é importante lembrar que tais fórmulas simples são aplicáveis não apenas nas atividades educativas, mas também na vida cotidiana. As crianças aprendem a encontrar o perímetro e a área de uma figura no ensino fundamental. Nas séries intermediárias surge uma nova matéria - geometria, onde o teorema de Pitágoras está logo no início do estudo. Esses fundamentos da matemática também são testados no final do OGE e do USE escolar, por isso é importante conhecer essas fórmulas e aplicá-las corretamente.
Se você não sabe onde encontrar problemas, comece a rebocar as paredes da casa. Esta atividade exige precisão na abordagem dos cálculos e medição correta da superfície para acabamento. Portanto, antes de prosseguir com o nivelamento e acabamento das paredes, descubra como calcular a metragem quadrada das paredes para gesso. Conhecer a área de superfície vertical para acabamento ajudará você a evitar desperdício desnecessário de consumíveis.
Cálculos corretos são o segredo para reparos de qualidade
Feito o cálculo correto das paredes para reboco, considere que metade da batalha está feita. A principal questão que se coloca durante a construção é: como calcular a metragem quadrada das paredes de uma divisão, tendo em conta as aberturas de janelas e portas?
Se uma equipe de construção estiver rebocando as paredes, os próprios artesãos farão os cálculos. Mesmo sem fazer isso, mas no planejamento da construção é melhor obter conhecimento de como calcular a área das paredes. Como resultado, você saberá a metragem quadrada exata para o autoacabamento e poderá verificar a precisão dos dados dos artesãos que trabalham.
O que será útil durante o cálculo
A quadratura é calculada usando uma ferramenta como:
- fita de construção (a partir de 5 m);
- caneta ou lápis;
- calculadora;
- nível de construção;
- escada ou banquinho;
- um bloco de notas ou folha de papel para anotações e fórmulas.
Prepare as ferramentas necessárias para medir as paredes e prepare-se para começar a trabalhar.
Por onde começar a calcular
Antes de calcular a metragem quadrada das paredes, afaste os móveis para que você possa se movimentar sem impedimentos. Este é um aspecto importante, pois os indicadores iniciais obtidos com o cálculo das medidas refletirão o volume da sala, a metragem quadrada do piso e do teto.
Como medir áreas de superfície
Para medir a superfície, desenhe uma linha reta 4-5 cm acima do nível do rodapé, usando um nível ou outra barra de nível para verificar.
Em seguida, aplicando uma fita métrica na linha, meça o comprimento das paredes e anote o número no papel.
No próximo passo, prepare-se para calcular a altura das paredes do teto ao chão, seguindo o mesmo diagrama. Recebidos os valores necessários, resta descobrir como calcular a metragem quadrada das paredes usando a fórmula.
Regras de cálculo
Para obter a área das paredes de uma sala retangular, a largura é multiplicada pelo comprimento. Vejamos um exemplo.
Comprimento da parede 6 m, largura - 4. S = 6 * 4 = 24 m 2. Da mesma forma, calcule a área de outras superfícies e some-as. O comprimento de duas paredes em uma sala retangular é de 8 m, as outras duas têm 6 m cada. Como resultado da dobra: 8 * 2 = 16, 6 * 2 = 12, 16 + 12 = 28 m - a soma do comprimentos das superfícies das paredes da sala. S = 28 * 4 = 112 m2. Esta é a área de todas as paredes da sala
Cálculo da área de aberturas de janelas e portas
Ao descobrir como calcular corretamente a metragem quadrada das paredes, vale considerar que as aberturas de janelas e portas também são medidas para calcular a superfície a ser tratada. As medições são feitas apenas nas encostas das aberturas. Esta etapa é importante no cálculo da área superficial a ser acabada. Assim, a área de uma janela retangular com largura de 1 e altura de 1,2 m é igual a 1,2 m2 (1,00 * 1,20 = 1,2). Se houver mais de uma janela na sala, seus tamanhos serão medidos separadamente. E as áreas são somadas para se obter o resultado final.
As portas são medidas da mesma maneira. Aqui é importante definir parâmetros não ao longo da tela, mas ao longo das encostas. Como resultado das medições, fica claro que a área das encostas das janelas é de 1,20 m2, e a área da porta, por exemplo, é de 4,80 m2. Em seguida, as dimensões são somadas em um número: 1,20 + 4,80 = 6 m2, e subtraídas da área da sala: 112 - 6 = 106 m2.
Agora você já sabe como calcular a metragem quadrada das paredes e quais fórmulas usar para obter o valor final exato. Esse conhecimento é útil e prático. Afinal, o dono de um apartamento ou casa não terá que gastar dinheiro extra com materiais de acabamento, que no final ficarão a mais. Sabendo a quantidade de revestimento necessária, você pode reduzir drasticamente a quantidade de desperdício e economizar no orçamento de reforma gastando dinheiro na decoração do interior do ambiente.
De vez em quando nos deparamos com o problema de como calcular metros quadrados: no cálculo de contas de serviços públicos ou durante reformas, quando precisamos calcular quantos rolos de papel de parede são necessários para cobrir as paredes, ou quantas latas de tinta.
Na verdade, todos estes dados estão indicados no passaporte técnico, que dá uma clara disposição do apartamento, indica a quantidade de metros quadrados de cada quarto e a área total do apartamento.
Como calcular metros quadrados de paredes
Se você não tem passaporte, mas ainda precisa descobrir, por exemplo, como calcular metros quadrados de paredes, então fazer isso, na verdade, não é tão difícil. Para isso você precisará de conhecimentos escolares de geometria. Ou seja, a fórmula para a área de um retângulo é S= a*b. Ou seja, você precisa multiplicar a altura das suas paredes pela largura. Para fazer isso, você precisa fazer o seguinte:
- Meça a largura da parede. É melhor fazer isso ao longo da linha do piso ou teto, pois essas linhas são mais perpendiculares.
- Altere a altura da parede. Esta é a distância do chão ao teto. Via de regra, em "Khrushchev" é 2,5 m, em "Brezhnev" - 3 m, em "Stalin" - 3,5 ou 4 m, mas é melhor medir você mesmo para não se enganar.
- Descubra a área. Os valores resultantes devem ser multiplicados entre si - e você terá a soma dos metros quadrados de uma parede.
- Soma das áreas. Como a sala não tem uma parede, mas quatro, as mesmas operações precisam ser feitas com as paredes restantes e, em seguida, somar as 4 áreas resultantes. Como resultado, você terá metros quadrados de paredes em toda a sala.
- Subtraia o excesso. Cada quarto tem pelo menos uma entrada. Nos apartamentos modernos, as remodelações com diferentes aberturas em arco e outras estão na moda. Naturalmente, se você precisar calcular o número de rolos de papel de parede, não precisará dessa distância. Portanto, meça a altura e a largura da abertura, multiplique-as e subtraia o número resultante do total de metros de paredes.
Como você pode ver, não há nada de complicado nisso. Se você estiver interessado em calcular os metros quadrados de uma sala, fica ainda mais fácil.
Como calcular metros quadrados de uma sala
A fórmula básica ainda é a mesma. Só agora precisamos do comprimento e da largura do piso.
- Medimos a largura. Se você tiver móveis ao longo da parede, não deve arrastá-los imediatamente para algum lugar. Você pode medir facilmente a largura ao longo da parede ou do teto - a sala consiste em retângulos e seus lados paralelos são iguais.
- Medimos o comprimento. Medimos a parede/piso/teto adjacente.
- Encontrando a área. Multiplicamos os números resultantes - e pronto.
É simples assim.
