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O maior múltiplo comum dos números. Divisores e múltiplos

Maior divisor comum

Definição 2

Se um número natural a é divisível por um número natural $b$, então $b$ é chamado de divisor de $a$, e $a$ é chamado de múltiplo de $b$.

Sejam $a$ e $b$ números naturais. O número $c$ é chamado de divisor comum de $a$ e $b$.

O conjunto de divisores comuns dos números $a$ e $b$ é finito, pois nenhum desses divisores pode ser maior que $a$. Isso significa que entre esses divisores existe um maior, que é chamado de máximo divisor comum dos números $a$ e $b$ e é denotado pela seguinte notação:

$GCD\(a;b)\ ou \D\(a;b)$

Para encontrar o máximo divisor comum de dois números você precisa:

Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.

Exemplo 1

Encontre o mdc dos números $121$ e $132.$

$242=2\cponto 11\cponto 11$

$132=2\cponto 2\cponto 3\cponto 11$

Escolha os números incluídos na expansão desses números

$242=2\cponto 11\cponto 11$

$132=2\cponto 2\cponto 3\cponto 11$

Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.

$MDC=2\cponto 11=22$

Exemplo 2

Encontre o mdc dos monômios $63$ e $81$.

Encontraremos de acordo com o algoritmo apresentado. Por esta:

Vamos fatorar os números em fatores primos

$63=3\cponto 3\cponto 7$

$81=3\cponto 3\cponto 3\cponto 3$

Selecionamos os números que estão incluídos na expansão desses números

$63=3\cponto 3\cponto 7$

$81=3\cponto 3\cponto 3\cponto 3$

Vamos encontrar o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.

$MDC=3\cponto 3=9$

Você pode encontrar o MDC de dois números de outra maneira, usando um conjunto de divisores de números.

Exemplo 3

Encontre o mdc dos números $48$ e $60$.

Solução:

Vamos encontrar o conjunto de divisores do número $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Agora vamos encontrar o conjunto de divisores do número $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Vamos encontrar a interseção desses conjuntos: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - este conjunto determinará o conjunto de divisores comuns dos números $48$ e $60 $. O maior elemento deste conjunto será o número $12$. Isso significa que o máximo divisor comum dos números $48$ e $60$ é $12$.

Definição de NPL

Definição 3

Múltiplos comuns de números naturais$a$ e $b$ são números naturais múltiplos de $a$ e $b$.

Múltiplos comuns de números são números que são divisíveis pelos números originais sem resto. Por exemplo, para os números $25$ e $50$, os múltiplos comuns serão os números $50.100.150.200$, etc.

O menor múltiplo comum será chamado de mínimo múltiplo comum e será denotado LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$

Para encontrar o MMC de dois números, você precisa:

Fatore números em fatores primos
Anote os fatores que fazem parte do primeiro número e some a eles os fatores que fazem parte do segundo e não fazem parte do primeiro

Exemplo 4

Encontre o MMC dos números $99$ e $77$.

Encontraremos de acordo com o algoritmo apresentado. Por esta

Fatore números em fatores primos

$99=3\cponto 3\cponto 11$

Anote os fatores incluídos no primeiro

adicione a eles multiplicadores que fazem parte do segundo e não fazem parte do primeiro

Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o mínimo múltiplo comum desejado

$NOK=3\cponto 3\cponto 11\cponto 7=693$

Compilar listas de divisores de números costuma ser uma tarefa muito trabalhosa. Existe uma maneira de encontrar o GCD chamada algoritmo euclidiano.

Declarações nas quais o algoritmo euclidiano se baseia:

Se $a$ e $b$ são números naturais, e $a\vdots b$, então $D(a;b)=b$

Se $a$ e $b$ são números naturais tais que $b

Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos reduzir sucessivamente os números em consideração até chegarmos a um par de números tal que um deles seja divisível pelo outro. Então o menor desses números será o máximo divisor comum desejado para os números $a$ e $b$.

Propriedades de GCD e LCM

Qualquer múltiplo comum de $a$ e $b$ é divisível por K$(a;b)$
Se $a\vdots b$ , então К$(a;b)=a$

Se K$(a;b)=k$ e $m$ for um número natural, então K$(am;bm)=km$

Se $d$ é um divisor comum para $a$ e $b$, então K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d )$

Se $a\vdots c$ e $b\vdots c$ , então $\frac(ab)(c)$ é o múltiplo comum de $a$ e $b$

Para quaisquer números naturais $a$ e $b$ a igualdade é válida

$D(a;b)\cdot Ê(a;b)=ab$

Qualquer divisor comum dos números $a$ e $b$ é um divisor do número $D(a;b)$

Um múltiplo é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. O mínimo múltiplo comum (MCM) de um grupo de números é o menor número divisível por cada número do grupo sem deixar resto. Para encontrar o mínimo múltiplo comum, você precisa encontrar os fatores primos de determinados números. O MMC também pode ser calculado usando vários outros métodos que se aplicam a grupos de dois ou mais números.

Passos

Série de múltiplos

Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são fornecidos dois números, cada um deles menor que 10. Se forem fornecidos números maiores, use um método diferente.

Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum de 5 e 8. Esses números são pequenos, então você pode usar este método.

Um múltiplo é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. Os múltiplos podem ser encontrados na tabuada.
- Por exemplo, os números múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Escreva uma série de números que sejam múltiplos do primeiro número. Faça isso sob múltiplos do primeiro número para comparar dois conjuntos de números.
- Por exemplo, os números múltiplos de 8 são: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.
Encontre o menor número presente em ambos os conjuntos de múltiplos. Talvez seja necessário escrever longas séries de múltiplos para encontrar o número total. O menor número presente em ambos os conjuntos de múltiplos é o mínimo múltiplo comum.
- Por exemplo, o menor número que aparece na série de múltiplos de 5 e 8 é o número 40. Portanto, 40 é o mínimo múltiplo comum de 5 e 8.
Fatoração principal
1. Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são fornecidos dois números, cada um deles maior que 10. Se forem fornecidos números menores, use um método diferente.
  - Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 20 e 84. Cada um dos números é maior que 10, então você pode usar este método.
2. Fatore o primeiro número em fatores primos. Ou seja, você precisa encontrar os números primos que, quando multiplicados, resultarão em um determinado número. Depois de encontrar os fatores primos, escreva-os como igualdades.
  - Por exemplo, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2) )\ vezes 10=20) E 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Assim, os fatores primos do número 20 são os números 2, 2 e 5. Escreva-os como uma expressão: .
3. Fatore o segundo número em fatores primos. Faça isso da mesma forma que fatorou o primeiro número, ou seja, encontre os números primos que, quando multiplicados, resultarão no número fornecido.
  - Por exemplo, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2) )\ vezes 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\vezes 6=42) E 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Assim, os fatores primos do número 84 são os números 2, 7, 3 e 2. Escreva-os como uma expressão: .
4. Anote os fatores comuns a ambos os números. Escreva esses fatores como uma operação de multiplicação. Ao escrever cada fator, risque-o em ambas as expressões (expressões que descrevem a fatoração de números em fatores primos).
  - Por exemplo, ambos os números têm um fator comum de 2, então escreva 2 × (\estilo de exibição 2\vezes) e risque o 2 em ambas as expressões.
  - O que ambos os números têm em comum é outro fator de 2, então escreva 2 × 2 (\estilo de exibição 2\vezes 2) e risque o segundo 2 em ambas as expressões.
5. Adicione os fatores restantes à operação de multiplicação. São fatores que não estão riscados em ambas as expressões, ou seja, fatores que não são comuns aos dois números.
  - Por exemplo, na expressão 20 = 2 × 2 × 5 (\estilo de exibição 20=2\vezes 2\vezes 5) Ambos os dois (2) estão riscados porque são fatores comuns. O fator 5 não está riscado, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 2 × 5 (\estilo de exibição 2\vezes 2\vezes 5)
  - Em expressão 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\vezes 7\vezes 3\vezes 2) ambos os dois (2) também estão riscados. Os fatores 7 e 3 não estão riscados, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\vezes 2\vezes 5\vezes 7\vezes 3).
6. Calcule o mínimo múltiplo comum. Para fazer isso, multiplique os números na operação de multiplicação escrita.
  - Por exemplo, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\estilo de exibição 2\vezes 2\vezes 5\vezes 7\vezes 3=420). Portanto, o mínimo múltiplo comum de 20 e 84 é 420.
  Encontrando fatores comuns
  1. Desenhe uma grade como se fosse um jogo da velha. Tal grade consiste em duas linhas paralelas que se cruzam (em ângulos retos) com outras duas linhas paralelas. Isso lhe dará três linhas e três colunas (a grade se parece muito com o ícone #). Escreva o primeiro número na primeira linha e na segunda coluna. Escreva o segundo número na primeira linha e na terceira coluna.
    - Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 18 e 30. Escreva o número 18 na primeira linha e na segunda coluna e escreva o número 30 na primeira linha e na terceira coluna.
  2. Encontre o divisor comum a ambos os números. Escreva na primeira linha e na primeira coluna. É melhor procurar fatores primos, mas isso não é obrigatório.
    - Por exemplo, 18 e 30 são números pares, então seu fator comum é 2. Portanto, escreva 2 na primeira linha e na primeira coluna.
  3. Divida cada número pelo primeiro divisor. Escreva cada quociente sob o número apropriado. Um quociente é o resultado da divisão de dois números.
    - Por exemplo, 18 ÷ 2 = 9 (\estilo de exibição 18\div 2=9), então escreva 9 menores de 18 anos.
    - 30 ÷ 2 = 15 (\estilo de exibição 30\div 2=15), então anote 15 abaixo de 30.
  4. Encontre o divisor comum a ambos os quocientes. Se não existir tal divisor, pule as próximas duas etapas. Caso contrário, escreva o divisor na segunda linha e na primeira coluna.
    - Por exemplo, 9 e 15 são divisíveis por 3, então escreva 3 na segunda linha e na primeira coluna.
  5. Divida cada quociente por seu segundo divisor. Escreva cada resultado de divisão sob o quociente correspondente.
    - Por exemplo, 9 ÷ 3 = 3 (\estilo de exibição 9\div 3=3), então escreva 3 abaixo de 9.
    - 15 ÷ 3 = 5 (\estilo de exibição 15\div 3=5), então escreva 5 com menos de 15 anos.
  6. Se necessário, adicione células adicionais à grade. Repita as etapas descritas até que os quocientes tenham um divisor comum.
  7. Circule os números na primeira coluna e na última linha da grade. Em seguida, escreva os números selecionados como uma operação de multiplicação.
    - Por exemplo, os números 2 e 3 estão na primeira coluna e os números 3 e 5 estão na última linha, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 3 × 3 × 5 (\estilo de exibição 2\vezes 3\vezes 3\vezes 5).
  8. Encontre o resultado da multiplicação de números. Isso calculará o mínimo múltiplo comum de dois números fornecidos.
    - Por exemplo, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\estilo de exibição 2\vezes 3\vezes 3\vezes 5=90). Portanto, o mínimo múltiplo comum de 18 e 30 é 90.
  Algoritmo de Euclides
  1. Lembre-se da terminologia associada à operação de divisão. O dividendo é o número que está sendo dividido. O divisor é o número pelo qual está sendo dividido. Um quociente é o resultado da divisão de dois números. Um resto é o número que resta quando dois números são divididos.
    - Por exemplo, na expressão 15 ÷ 6 = 2 (\estilo de exibição 15\div 6=2) ost. 3:
      15 é o dividendo
      6 é um divisor
      2 é quociente
      3 é o resto.

O maior número natural pelo qual os números aeb são divididos sem resto é chamado máximo divisor comum esses números. Denote GCD (a, b).

Vamos considerar encontrar o GCD usando o exemplo de dois números naturais 18 e 60:

1 Vamos fatorar os números em fatores primos:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Elimine da expansão do primeiro número todos os fatores que não estão incluídos na expansão do segundo número, obtemos 2×3×3 .

3 Multiplicamos os fatores primos restantes após riscar e obtemos o máximo divisor comum dos números: mdc( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Observe que não importa se riscarmos os fatores do primeiro ou do segundo número, o resultado será o mesmo:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 E 432

Vamos fatorar os números em fatores primos:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3x37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Riscando do primeiro número cujos fatores não estão no segundo e terceiro números, obtemos:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Como resultado, GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Encontrando GCD usando o algoritmo euclidiano

A segunda maneira de encontrar o máximo divisor comum é usar Algoritmo euclidiano. O algoritmo euclidiano é a maneira mais eficiente de encontrar GCD, usando-o você precisa encontrar constantemente o resto da divisão dos números e aplicar fórmula de recorrência.

Fórmula de recorrência para GCD, MDC(a, b)=MDC(b, a mod b), onde a mod b é o resto de a dividido por b.

Algoritmo de Euclides

Exemplo Encontre o máximo divisor comum de números 7920 E 594

Vamos encontrar o GCD( 7920 , 594 ) usando o algoritmo euclidiano, calcularemos o resto da divisão usando uma calculadora.

MDC( 7920 , 594 )

MDC( 594 , 7920 moda 594 ) = MDC( 594 , 198 )

MDC( 198 , 594 moda 198 ) = MDC( 198 , 0 )

MDC( 198 , 0 ) = 198

7920 módulo 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
594 módulo 198 = 594 – 3 × 198 = 0

Como resultado, obtemos MDC( 7920 , 594 ) = 198

Mínimo múltiplo comum

Para encontrar um denominador comum ao adicionar e subtrair frações com denominadores diferentes, você precisa saber e ser capaz de calcular mínimo múltiplo comum(NOK).

Um múltiplo do número “a” é um número que é divisível pelo número “a” sem resto.

Números que são múltiplos de 8 (ou seja, esses números são divisíveis por 8 sem deixar resto): esses são os números 16, 24, 32...

Múltiplos de 9: 18, 27, 36, 45…

Existem infinitos múltiplos de um determinado número a, em contraste com os divisores do mesmo número. Existe um número finito de divisores.

O múltiplo comum de dois números naturais é um número divisível por ambos..

Mínimo múltiplo comum(LCM) de dois ou mais números naturais é o menor número natural que é divisível por cada um desses números.

Como encontrar o NOC

O LCM pode ser encontrado e escrito de duas maneiras.

A primeira maneira de encontrar o LOC

Este método geralmente é usado para números pequenos.

Anotamos os múltiplos de cada número numa linha até encontrarmos um múltiplo que seja igual para ambos os números.
O múltiplo do número “a” é denotado pela letra maiúscula “K”.

Exemplo. Encontre MMC 6 e 8.

A segunda maneira de encontrar o LOC

Este método é conveniente para encontrar o MMC de três ou mais números.

O número de fatores idênticos nas decomposições de números pode ser diferente.

Na expansão do(s) número(s) menor(es), destaque os fatores que não estão incluídos na expansão do número maior (no nosso exemplo, é 2) e adicione esses fatores à expansão do número maior.
MMC(24, 60) = 2 2 3 5 2

Escreva o produto resultante como resposta.
Resposta: MMC (24, 60) = 120

Você também pode formalizar a localização do mínimo múltiplo comum (LCM) da seguinte maneira. Vamos encontrar o LOC (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Como podemos ver na decomposição dos números, todos os fatores de 12 estão incluídos na decomposição de 24 (o maior dos números), portanto adicionamos apenas um 2 da decomposição do número 16 ao MMC.

MMC (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Resposta: MMC (12, 16, 24) = 48

Casos especiais de localização de um NOC

Se um dos números for divisível pelos outros, então o mínimo múltiplo comum desses números é igual a esse número.

Por exemplo, MMC (60, 15) = 60
Como os números primos não possuem fatores primos comuns, seu mínimo múltiplo comum é igual ao produto desses números.

Em nosso site você também pode usar uma calculadora especial para encontrar o mínimo múltiplo comum online para verificar seus cálculos.

Se um número natural é divisível apenas por 1 e por ele mesmo, então ele é chamado de primo.

Qualquer número natural é sempre divisível por 1 e por ele mesmo.

O número 2 é o menor número primo. Este é o único número primo par, os demais números primos são ímpares.

Existem muitos números primos, e o primeiro deles é o número 2. No entanto, não existe um último número primo. Na seção “Para Estudo” você pode baixar uma tabela de números primos até 997.

Mas muitos números naturais também são divisíveis por outros números naturais.

o número 12 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;
O número 36 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Os números pelos quais o número é divisível por um inteiro (para 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12) são chamados de divisores do número.

O divisor de um número natural a é um número natural que divide o número “a” fornecido sem deixar resto.

Um número natural que possui mais de dois divisores é chamado composto.

Observe que os números 12 e 36 têm fatores comuns. Esses números são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. O maior divisor desses números é 12.

O divisor comum de dois números dados “a” e “b” é o número pelo qual ambos os números dados “a” e “b” são divididos sem resto.

Maior divisor comum(GCD) de dois números dados “a” e “b” é o maior número pelo qual ambos os números “a” e “b” são divisíveis sem resto.

Resumidamente, o máximo divisor comum dos números “a” e “b” é escrito da seguinte forma::

Exemplo: mdc (12; 36) = 12.

Os divisores de números no registro da solução são indicados pela letra maiúscula “D”.

Os números 7 e 9 têm apenas um divisor comum - o número 1. Tais números são chamados números coprimos.

Números coprimos- são números naturais que possuem apenas um divisor comum - o número 1. Seu mdc é 1.

Como encontrar o máximo divisor comum

Para encontrar o MDC de dois ou mais números naturais, você precisa:

decompor os divisores de números em fatores primos;

É conveniente escrever cálculos usando uma barra vertical. À esquerda da linha escrevemos primeiro o dividendo, à direita - o divisor. A seguir, na coluna da esquerda anotamos os valores dos quocientes.

Vamos explicar imediatamente com um exemplo. Vamos fatorar os números 28 e 64 em fatores primos.

64 = 2 2 2 2 2 2
Encontre o produto de fatores primos idênticos e anote a resposta;
MDC (28; 64) = 2 2 = 4

Resposta: GCD (28; 64) = 4

Você pode formalizar a localização do GCD de duas maneiras: em coluna (como feito acima) ou “em linha”.

A primeira maneira de escrever mdc

Encontre mdc 48 e 36.

MDC (48; 36) = 2 2 3 = 12

A segunda maneira de escrever mdc

Agora vamos escrever a solução para a pesquisa do GCD em uma linha. Encontre mdc 10 e 15.

Em nosso site de informações você também pode usar o ajudante online do Máximo Divisor Comum para verificar seus cálculos.

Encontrando o mínimo múltiplo comum, métodos, exemplos de como encontrar o MMC.

O material apresentado a seguir é uma continuação lógica da teoria do artigo intitulado LCM - mínimo múltiplo comum, definição, exemplos, conexão entre LCM e GCD. Aqui falaremos sobre encontrar o mínimo múltiplo comum (LCM), e daremos atenção especial à resolução de exemplos. Primeiro, mostraremos como o MMC de dois números é calculado usando o MDC desses números. A seguir, veremos como encontrar o mínimo múltiplo comum fatorando números em fatores primos. Depois disso, vamos nos concentrar em encontrar o MMC de três ou mais números e também prestar atenção ao cálculo do MMC de números negativos.

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Cálculo do mínimo múltiplo comum (LCM) via GCD

Uma maneira de encontrar o mínimo múltiplo comum é baseada na relação entre LCM e GCD. A conexão existente entre LCM e GCD nos permite calcular o mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos através de um máximo divisor comum conhecido. A fórmula correspondente é MMC(a, b)=a b:MDC(a, b). Vejamos exemplos de como encontrar o MMC usando a fórmula fornecida.

Encontre o mínimo múltiplo comum de dois números 126 e 70.

Neste exemplo a=126 , b=70 . Vamos usar a conexão entre LCM e GCD, expressa pela fórmula LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Ou seja, primeiro temos que encontrar o máximo divisor comum dos números 70 e 126, após o qual podemos calcular o MMC desses números usando a fórmula escrita.

Vamos encontrar MDC(126, 70) usando o algoritmo euclidiano: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, portanto, MDC(126, 70)=14.

Agora encontramos o mínimo múltiplo comum necessário: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

A que LCM (68, 34) é igual?

Como 68 é divisível por 34, então GCD(68, 34)=34. Agora calculamos o mínimo múltiplo comum: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Observe que o exemplo anterior se ajusta à seguinte regra para encontrar o MMC para inteiros positivos a e b: se a é divisível por b, então o mínimo múltiplo comum desses números é a.

Encontrando o MMC fatorando números em fatores primos

Outra maneira de encontrar o mínimo múltiplo comum é fatorar números em fatores primos. Se você compor um produto de todos os fatores primos de determinados números e, em seguida, excluir deste produto todos os fatores primos comuns presentes nas decomposições dos números fornecidos, então o produto resultante será igual ao mínimo múltiplo comum dos números fornecidos. .

A regra declarada para encontrar o MMC segue da igualdade LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Na verdade, o produto dos números aeb é igual ao produto de todos os fatores envolvidos na expansão dos números aeb. Por sua vez, MDC(a, b) é igual ao produto de todos os fatores primos presentes simultaneamente nas expansões dos números aeb (conforme descrito na seção sobre como encontrar o MDC usando a expansão de números em fatores primos).

Vamos dar um exemplo. Deixe-nos saber que 75=3·5·5 e 210=2·3·5·7. Vamos compor o produto de todos os fatores dessas expansões: 2·3·3·5·5·5·7 . Agora deste produto excluímos todos os fatores presentes tanto na expansão do número 75 quanto na expansão do número 210 (esses fatores são 3 e 5), então o produto assumirá a forma 2·3·5·5·7 . O valor deste produto é igual ao mínimo múltiplo comum dos números 75 e 210, ou seja, MMC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Fatore os números 441 e 700 em fatores primos e encontre o mínimo múltiplo comum desses números.

Vamos fatorar os números 441 e 700 em fatores primos:

Obtemos 441=3·3·7·7 e 700=2·2·5·5·7.

Agora vamos criar um produto de todos os fatores envolvidos na expansão desses números: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluamos deste produto todos os fatores que estão presentes simultaneamente em ambas as expansões (só existe um desses fatores - este é o número 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Assim, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44 100 .

A regra para encontrar o MMC usando a fatoração de números em fatores primos pode ser formulada de maneira um pouco diferente. Se os fatores que faltam na expansão do número b forem somados aos fatores da expansão do número a, então o valor do produto resultante será igual ao mínimo múltiplo comum dos números a e b.

Por exemplo, tomemos os mesmos números 75 e 210, suas decomposições em fatores primos são as seguintes: 75=3·5·5 e 210=2·3·5·7. Aos fatores 3, 5 e 5 da expansão do número 75 somamos os fatores que faltam 2 e 7 da expansão do número 210, obtemos o produto 2·3·5·5·7, cujo valor é igual a LCM(75, 210).

Encontre o mínimo múltiplo comum de 84 e 648.

Primeiro obtemos as decomposições dos números 84 e 648 em fatores primos. Eles se parecem com 84=2·2·3·7 e 648=2·2·2·3·3·3·3. Aos fatores 2, 2, 3 e 7 da expansão do número 84 adicionamos os fatores que faltam 2, 3, 3 e 3 da expansão do número 648, obtemos o produto 2 2 2 3 3 3 3 7, que é igual a 4 536 . Assim, o mínimo múltiplo comum desejado de 84 e 648 é 4.536.

Encontrando o MMC de três ou mais números

O mínimo múltiplo comum de três ou mais números pode ser encontrado encontrando sequencialmente o MMC de dois números. Lembremos o teorema correspondente, que fornece uma maneira de encontrar o MMC de três ou mais números.

Sejam dados números inteiros positivos a 1 , a 2 , …, a k, o mínimo múltiplo comum m k desses números é encontrado calculando sequencialmente m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Vamos considerar a aplicação deste teorema usando o exemplo de como encontrar o mínimo múltiplo comum de quatro números.

Encontre o MMC de quatro números 140, 9, 54 e 250.

Primeiro encontramos m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Para fazer isso, usando o algoritmo euclidiano, determinamos GCD(140, 9), temos 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, portanto, GCD(140, 9)=1, do qual LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Ou seja, m 2 =1 260.

Agora encontramos m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Vamos calculá-lo através do MDC(1 260, 54), que também determinamos usando o algoritmo euclidiano: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Então mdc(1.260, 54)=18, do qual mdc(1.260, 54)= 1.260·54:mdc(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Ou seja, m 3 =3 780.

Resta encontrar m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Para fazer isso, encontramos o MDC(3.780, 250) usando o algoritmo euclidiano: 3.780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Portanto, MDC(3.780, 250)=10, do qual MDC(3.780, 250)= 3.780·250:MDC(3.780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Isto é, m 4 =94.500.

Portanto, o mínimo múltiplo comum dos quatro números originais é 94.500.

MMC(140, 9, 54, 250)=94.500 .

Em muitos casos, é conveniente encontrar o mínimo múltiplo comum de três ou mais números usando fatorações primárias dos números fornecidos. Neste caso, você deve seguir a seguinte regra. O mínimo múltiplo comum de vários números é igual ao produto, que é composto da seguinte forma: os fatores que faltam na expansão do segundo número são somados a todos os fatores da expansão do primeiro número, os fatores que faltam na expansão de o terceiro número é adicionado aos fatores resultantes e assim por diante.

Vejamos um exemplo de como encontrar o mínimo múltiplo comum usando a fatoração primária.

Encontre o mínimo múltiplo comum dos cinco números 84, 6, 48, 7, 143.

Primeiro, obtemos decomposições desses números em fatores primos: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 é um número primo, coincide com sua decomposição em fatores primos) e 143=11·13.

Para encontrar o MMC desses números, aos fatores do primeiro número 84 (são 2, 2, 3 e 7), você precisa adicionar os fatores que faltam na expansão do segundo número 6. A decomposição do número 6 não contém fatores faltantes, pois tanto 2 quanto 3 já estão presentes na decomposição do primeiro número 84. A seguir, aos fatores 2, 2, 3 e 7 adicionamos os fatores que faltam 2 e 2 da expansão do terceiro número 48, obtemos um conjunto de fatores 2, 2, 2, 2, 3 e 7. Não haverá necessidade de adicionar multiplicadores a este conjunto na próxima etapa, pois ele já contém 7. Finalmente, aos fatores 2, 2, 2, 2, 3 e 7 adicionamos os fatores que faltam 11 e 13 da expansão do número 143. Obtemos o produto 2·2·2·2·3·7·11·13, que é igual a 48.048.

Portanto, MMC(84, 6, 48, 7, 143)=48.048.

MMC(84, 6, 48, 7, 143)=48.048 .

Encontrando o mínimo múltiplo comum de números negativos

Às vezes, há tarefas nas quais você precisa encontrar o mínimo múltiplo comum de números, entre os quais um, vários ou todos os números são negativos. Nestes casos, todos os números negativos devem ser substituídos pelos seus números opostos, e então o MMC dos números positivos deve ser encontrado. Esta é a maneira de encontrar o MMC de números negativos. Por exemplo, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) e LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Podemos fazer isso porque o conjunto de múltiplos de a é igual ao conjunto de múltiplos de −a (a e −a são números opostos). Na verdade, seja b algum múltiplo de a, então b é divisível por a, e o conceito de divisibilidade afirma a existência de um inteiro q tal que b=a·q. Mas a igualdade b=(−a)·(−q) também será verdadeira, o que, devido ao mesmo conceito de divisibilidade, significa que b é divisível por −a, ou seja, b é múltiplo de −a. O inverso também é verdadeiro: se b é algum múltiplo de −a, então b também é múltiplo de a.

Encontre o mínimo múltiplo comum de números negativos −145 e −45.

Vamos substituir os números negativos −145 e −45 pelos seus números opostos 145 e 45. Temos LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Tendo determinado GCD(145, 45)=5 (por exemplo, usando o algoritmo euclidiano), calculamos GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Assim, o mínimo múltiplo comum dos inteiros negativos −145 e −45 é 1.305.

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Continuamos a estudar a divisão. Nesta lição veremos conceitos como GCD E NOC.

GCDé o máximo divisor comum.

NOCé o mínimo múltiplo comum.

O assunto é bastante chato, mas você definitivamente precisa entendê-lo. Sem entender este tópico, você não conseguirá trabalhar de forma eficaz com frações, que são um verdadeiro obstáculo na matemática.

Maior divisor comum

Definição. Maior divisor comum de números a E b a E b dividido sem resto.

Para entender bem esta definição, vamos substituir as variáveis a E b quaisquer dois números, por exemplo, em vez de uma variável a Vamos substituir o número 12, e em vez da variável b número 9. Agora vamos tentar ler esta definição:

Maior divisor comum de números 12 E 9 é chamado o maior número pelo qual 12 E 9 dividido sem resto.

Pela definição fica claro que estamos falando do divisor comum dos números 12 e 9, e esse divisor é o maior de todos os divisores existentes. Este máximo divisor comum (MDC) precisa ser encontrado.

Para encontrar o máximo divisor comum de dois números, três métodos são usados. O primeiro método é bastante trabalhoso, mas permite compreender claramente a essência do tema e sentir todo o seu significado.

O segundo e o terceiro métodos são bastante simples e permitem encontrar rapidamente um GCD. Veremos todos os três métodos. E qual usar na prática fica a seu critério.

O primeiro método é encontrar todos os divisores possíveis de dois números e escolher o maior. Vejamos esse método usando o seguinte exemplo: encontre o máximo divisor comum dos números 12 e 9.

Primeiro encontraremos todos os divisores possíveis do número 12. Para fazer isso, dividiremos 12 por todos os divisores no intervalo de 1 a 12. Se o divisor nos permitir dividir 12 sem resto, então iremos destacá-lo em azul e faça uma explicação apropriada entre parênteses.

12: 1 = 12
(12 é dividido por 1 sem resto, o que significa que 1 é um divisor do número 12)

12: 2 = 6
(12 é dividido por 2 sem resto, o que significa que 2 é um divisor do número 12)

12: 3 = 4
(12 é dividido por 3 sem resto, o que significa que 3 é um divisor do número 12)

12: 4 = 3
(12 é dividido por 4 sem resto, o que significa que 4 é um divisor do número 12)

12: 5 = 2 (2 sobrando)
(12 não é dividido por 5 sem resto, o que significa que 5 não é divisor do número 12)

12: 6 = 2
(12 é dividido por 6 sem resto, o que significa que 6 é um divisor do número 12)

12: 7 = 1 (5 sobrando)
(12 não é dividido por 7 sem resto, o que significa que 7 não é divisor do número 12)

12: 8 = 1 (4 sobrando)
(12 não é dividido por 8 sem resto, o que significa que 8 não é divisor de 12)

12: 9 = 1 (3 sobrando)
(12 não é dividido por 9 sem resto, o que significa que 9 não é divisor do número 12)

12: 10 = 1 (2 sobrando)
(12 não é dividido por 10 sem resto, o que significa que 10 não é divisor do número 12)

12: 11 = 1 (1 sobra)
(12 não é dividido por 11 sem resto, o que significa que 11 não é divisor de 12)

12: 12 = 1
(12 é dividido por 12 sem resto, o que significa que 12 é um divisor do número 12)

Agora vamos encontrar os divisores do número 9. Para fazer isso, verifique todos os divisores de 1 a 9

9: 1 = 9
(9 é dividido por 1 sem resto, o que significa que 1 é um divisor do número 9)

9: 2 = 4 (1 sobra)
(9 não é dividido por 2 sem resto, o que significa que 2 não é divisor do número 9)

9: 3 = 3
(9 é dividido por 3 sem resto, o que significa que 3 é um divisor do número 9)

9: 4 = 2 (1 sobra)
(9 não é dividido por 4 sem resto, o que significa que 4 não é divisor do número 9)

9: 5 = 1 (4 sobrando)
(9 não é dividido por 5 sem resto, o que significa que 5 não é divisor do número 9)

9: 6 = 1 (3 sobrando)
(9 não é dividido por 6 sem resto, o que significa que 6 não é divisor do número 9)

9: 7 = 1 (2 sobrando)
(9 não é dividido por 7 sem resto, o que significa que 7 não é divisor do número 9)

9: 8 = 1 (1 sobra)
(9 não é dividido por 8 sem resto, o que significa que 8 não é divisor do número 9)

9: 9 = 1
(9 é dividido por 9 sem resto, o que significa que 9 é um divisor do número 9)

Agora vamos anotar os divisores de ambos os números. Os números destacados em azul são divisores. Vamos anotá-los:

Depois de escrever os divisores, você pode determinar imediatamente qual é o maior e mais comum.

Por definição, o máximo divisor comum dos números 12 e 9 é o número que divide 12 e 9 sem resto. O maior e divisor comum dos números 12 e 9 é o número 3

Tanto o número 12 quanto o número 9 são divisíveis por 3 sem resto:

Então mdc (12 e 9) = 3

A segunda maneira de encontrar o GCD

Agora vamos dar uma olhada no segundo método para encontrar o máximo divisor comum. A essência deste método é decompor ambos os números em fatores primos e multiplicar os comuns.

Exemplo 1. Encontre o mdc dos números 24 e 18

Primeiro, vamos fatorar ambos os números em fatores primos:

Agora vamos multiplicar seus fatores comuns. Para evitar confusão, os fatores comuns podem ser enfatizados.

Observamos a expansão do número 24. Seu primeiro fator é 2. Procuramos o mesmo fator na expansão do número 18 e vemos que ele também está lá. Enfatizamos ambos os dois:

Observamos novamente a expansão do número 24. Seu segundo fator também é 2. Procuramos o mesmo fator na expansão do número 18 e vemos que pela segunda vez ele não está mais lá. Então não enfatizamos nada.

Os próximos dois na expansão do número 24 também estão ausentes na expansão do número 18.

Vamos passar para o último fator na expansão do número 24. Este é o fator 3. Procuramos o mesmo fator na expansão do número 18 e vemos que ele também está lá. Enfatizamos os dois três:

Assim, os fatores comuns dos números 24 e 18 são os fatores 2 e 3. Para obter o MDC, esses fatores devem ser multiplicados:

Então mdc (24 e 18) = 6

A terceira maneira de encontrar o GCD

Agora vamos examinar a terceira maneira de encontrar o máximo divisor comum. A essência deste método é que os números a serem encontrados para o máximo divisor comum são decompostos em fatores primos. Então, a partir da expansão do primeiro número, são riscados os fatores que não estão incluídos na expansão do segundo número. Os números restantes na primeira expansão são multiplicados e obtidos GCD.

Por exemplo, vamos encontrar o GCD para os números 28 e 16 usando este método. Primeiro de tudo, decompomos esses números em fatores primos:

Temos duas expansões: e

Agora da decomposição do primeiro número iremos deletar os fatores que não estão incluídos na decomposição do segundo número. A expansão do segundo número não inclui sete. Vamos riscar da primeira expansão:

Agora multiplicamos os fatores restantes e obtemos o GCD:

O número 4 é o máximo divisor comum dos números 28 e 16. Ambos os números são divisíveis por 4 sem resto:

Exemplo 2. Encontre o mdc dos números 100 e 40

Fatorando o número 100

Fatorando o número 40

Temos duas expansões:

Agora da decomposição do primeiro número iremos deletar os fatores que não estão incluídos na decomposição do segundo número. A expansão do segundo número não inclui um cinco (há apenas um cinco). Vamos riscar da primeira expansão

Vamos multiplicar os números restantes:

Recebemos a resposta 20. Isso significa que o número 20 é o máximo divisor comum dos números 100 e 40. Esses dois números são divisíveis por 20 sem resto:

MDC (100 e 40) = 20.

Exemplo 3. Encontre o mdc dos números 72 e 128

Fatorando o número 72

Fatorando o número 128

2×2×2×2×2×2×2×2

Agora da decomposição do primeiro número iremos deletar os fatores que não estão incluídos na decomposição do segundo número. A expansão do segundo número não inclui dois trigêmeos (eles não existem). Vamos riscá-los da primeira expansão:

Recebemos a resposta 8. Isso significa que o número 8 é o máximo divisor comum dos números 72 e 128. Esses dois números são divisíveis por 8 sem resto:

MDC (72 e 128) = 8

Encontrando GCD para vários números

O máximo divisor comum pode ser encontrado para vários números, não apenas para dois. Para fazer isso, os números a serem encontrados para o máximo divisor comum são decompostos em fatores primos e, em seguida, é encontrado o produto dos fatores primos comuns desses números.

Por exemplo, vamos encontrar o GCD para os números 18, 24 e 36

Vamos fatorar o número 18

Vamos fatorar o número 24

Vamos fatorar o número 36

Temos três expansões:

Agora vamos destacar e sublinhar os fatores comuns nesses números. Fatores comuns devem aparecer em todos os três números:

Vemos que os fatores comuns para os números 18, 24 e 36 são os fatores 2 e 3. Multiplicando esses fatores, obtemos o mdc que procuramos:

Recebemos a resposta 6. Isso significa que o número 6 é o máximo divisor comum dos números 18, 24 e 36. Esses três números são divisíveis por 6 sem resto:

MDC (18, 24 e 36) = 6

Exemplo 2. Encontre o GCD para os números 12, 24, 36 e 42

Vamos fatorar cada número em fatores primos. Então encontramos o produto dos fatores comuns desses números.

Vamos fatorar o número 12

Vamos fatorar o número 42

Temos quatro expansões:

Agora vamos destacar e sublinhar os fatores comuns nesses números. Fatores comuns devem aparecer em todos os quatro números:

Vemos que os fatores comuns para os números 12, 24, 36 e 42 são os fatores de 2 e 3. Multiplicando esses fatores, obtemos o mdc que procuramos:

Recebemos a resposta 6. Isso significa que o número 6 é o máximo divisor comum dos números 12, 24, 36 e 42. Esses números são divisíveis por 6 sem resto:

MDC (12, 24, 36 e 42) = 6

Da lição anterior sabemos que se um número for dividido por outro sem deixar resto, ele é chamado de múltiplo desse número.

Acontece que vários números podem ter um múltiplo comum. E agora estaremos interessados no múltiplo de dois números, e deve ser o menor possível.

Definição. Mínimo múltiplo comum (LCM) de números a E b- a E b a e número b.

A definição contém duas variáveis a E b. Vamos substituir quaisquer dois números em vez dessas variáveis. Por exemplo, em vez de uma variável a Vamos substituir o número 9, e em vez da variável b Vamos substituir o número 12. Agora vamos tentar ler a definição:

Mínimo múltiplo comum (LCM) de números 9 E 12 - é o menor número que é múltiplo de 9 E 12 . Em outras palavras, este é um número tão pequeno que é divisível sem resto pelo número 9 e por número 12 .

A partir da definição fica claro que o MMC é o menor número divisível sem resto por 9 e 12. Este MMC precisa ser encontrado.

Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MCC), você pode usar dois métodos. A primeira maneira é anotar os primeiros múltiplos de dois números e, em seguida, escolher entre esses múltiplos um número que será comum a ambos os números e pequeno. Vamos aplicar este método.

Primeiro de tudo, vamos encontrar os primeiros múltiplos do número 9. Para encontrar os múltiplos de 9, você precisa multiplicar esse nove, um por um, por números de 1 a 9. As respostas resultantes serão múltiplos do número 9. Então, vamos começar. Destacaremos os múltiplos em vermelho:

Agora encontramos os múltiplos do número 12. Para fazer isso, multiplicamos 12 um por um por todos os números de 1 a 12.

Como encontrar MMC (mínimo múltiplo comum)

Um múltiplo comum de dois números inteiros é um número inteiro que é divisível igualmente por ambos os números dados, sem deixar resto.

O mínimo múltiplo comum de dois inteiros é o menor de todos os inteiros que é divisível por ambos os números dados sem deixar resto.

Método 1. Você pode encontrar o MMC, por sua vez, para cada um dos números fornecidos, escrevendo em ordem crescente todos os números obtidos multiplicando-os por 1, 2, 3, 4 e assim por diante.

Exemplo para os números 6 e 9.
Multiplicamos o número 6, sequencialmente, por 1, 2, 3, 4, 5.
Obtemos: 6, 12, 18 , 24, 30
Multiplicamos o número 9, sequencialmente, por 1, 2, 3, 4, 5.
Obtemos: 9, 18 , 27, 36, 45
Como você pode ver, o MMC dos números 6 e 9 será igual a 18.

Este método é conveniente quando ambos os números são pequenos e é fácil multiplicá-los por uma sequência de inteiros. No entanto, há casos em que você precisa encontrar o MMC para números de dois ou três dígitos, e também quando há três ou mais números iniciais.

Método 2. Você pode encontrar o MMC fatorando os números originais em fatores primos.
Após a decomposição, é necessário riscar números idênticos da série resultante de fatores primos. Os números restantes do primeiro número serão um multiplicador do segundo e os números restantes do segundo serão um multiplicador do primeiro.

Exemplo para os números 75 e 60.
O mínimo múltiplo comum dos números 75 e 60 pode ser encontrado sem anotar os múltiplos desses números consecutivos. Para fazer isso, vamos fatorar 75 e 60 em fatores simples:
75 = 3 * 5 * 5, um
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Como você pode ver, os fatores 3 e 5 aparecem em ambas as linhas. Nós os “riscamos” mentalmente.
Vamos anotar os demais fatores incluídos na expansão de cada um desses números. Ao decompor o número 75, ficamos com o número 5, e ao decompor o número 60, ficamos com 2 * 2
Isso significa que, para determinar o MMC dos números 75 e 60, precisamos multiplicar os números restantes da expansão de 75 (isto é 5) por 60 e multiplicar os números restantes da expansão de 60 (isto é 2 *2) por 75. Ou seja, para facilitar o entendimento, dizemos que estamos multiplicando “transversalmente”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Foi assim que encontramos o MMC para os números 60 e 75. Este é o número 300.

Exemplo. Determine o MMC para os números 12, 16, 24
Neste caso, nossas ações serão um pouco mais complicadas. Mas primeiro, como sempre, vamos fatorar todos os números
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Para determinar corretamente o MMC, selecionamos o menor de todos os números (este é o número 12) e percorremos sequencialmente seus fatores, riscando-os se em pelo menos uma das outras linhas de números encontrarmos o mesmo fator que ainda não foi riscado.

Passo 1 . Vemos que 2 * 2 ocorre em todas as séries de números. Vamos riscá-los.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Passo 2. Nos fatores primos do número 12, resta apenas o número 3. Mas está presente nos fatores primos do número 24. Riscamos o número 3 de ambas as linhas, enquanto nenhuma ação é esperada para o número 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Como você pode ver, ao decompor o número 12, “riscamos” todos os números. Isto significa que a descoberta do LOC está concluída. Resta calcular seu valor.
Para o número 12, pegue os fatores restantes do número 16 (os próximos em ordem crescente)
12 * 2 * 2 = 48
Este é o NOC

Como você pode ver, neste caso encontrar o LCM foi um pouco mais difícil, mas quando você precisa encontrá-lo para três ou mais números, este método permite que você faça isso mais rápido. No entanto, ambos os métodos para encontrar o MMC estão corretos.

Lancinova Aisa

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Legendas dos slides:

Problemas em GCD e LCM de números Trabalho de um aluno da 6ª série do MCOU "escola secundária Kamyshovskaya" Lantsinova Aisa Supervisor Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, professora de matemática p. Kamyshevo, 2013

Um exemplo de como encontrar o MDC dos números 50, 75 e 325. 1) Vamos fatorar os números 50, 75 e 325 em fatores primos. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Dos fatores incluídos na expansão de um desses números, riscamos aqueles que não estão incluídos na expansão dos outros . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Encontre o produto dos fatores restantes 5 ∙ 5 = 25 Resposta: GCD (50, 75 e 325) = 25 O maior natural número pelo qual Quando os números a e b são divididos sem resto, o máximo divisor comum desses números é chamado de máximo divisor comum desses números.

Um exemplo de como encontrar o MMC dos números 72, 99 e 117. 1) Vamos fatorar em fatores primos os números 72, 99 e 117. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Escreva os fatores incluídos na expansão de um dos números 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 e adicione a eles os fatores que faltam dos números restantes. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Encontre o produto dos fatores resultantes. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Resposta: LCM (72, 99 e 117) = 10296 O mínimo múltiplo comum dos números naturais aeb é o menor número natural que é múltiplo de a e B.

A folha de papelão tem o formato de um retângulo com 48 cm de comprimento e 40 cm de largura, devendo esta folha ser cortada em quadrados iguais sem desperdícios. Quais são os maiores quadrados que podem ser obtidos nesta planilha e quantos? Solução: 1) S = a ∙ b – área do retângulo. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². – área de papelão. 2) a – lado do quadrado 48: a – o número de quadrados que podem ser colocados ao longo do comprimento do papelão. 40: a – o número de quadrados que podem ser colocados na largura do papelão. 3) GCD (40 e 48) = 8 (cm) – lado do quadrado. 4) S = a² – área de um quadrado. S = 8² = 64 (cm²) – área de um quadrado. 5) 1960: 64 = 30 (número de quadrados). Resposta: 30 quadrados com 8 cm de lado cada. Problemas de GCD

A lareira da sala deve ser revestida em forma de quadrado. Quantos ladrilhos serão necessários para uma lareira de 195 ͯ 156 cm e quais são os maiores tamanhos de ladrilhos? Solução: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S da superfície da lareira. 2) MDC (195 e 156) = 39 (cm) – lado do ladrilho. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – área de 1 ladrilho. 4) 30420: = 20 (peças). Resposta: 20 peças medindo 39 ͯ 39 (cm). Problemas de GCD

Deve ser vedado um canteiro de jardim medindo 54 ͯ 48 m em todo o perímetro, para isso devem ser colocados pilares de concreto em intervalos regulares. Quantos postes precisam ser trazidos para o local e a que distância máxima uns dos outros os postes serão colocados? Solução: 1) P = 2(a + b) – perímetro do local. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 e 48) = 6 (m) – distância entre os pilares. 3) 204: 6 = 34 (pilares). Resposta: 34 pilares, a uma distância de 6 m Problemas de GCD

Os buquês foram coletados de 210 rosas bordô, 126 brancas e 294 vermelhas, sendo que cada buquê continha igual número de rosas da mesma cor. Qual é o maior número de buquês feitos com essas rosas e quantas rosas de cada cor há em um buquê? Solução: 1) GCD (210, 126 e 294) = 42 (buquês). 2) 210: 42 = 5 (rosas bordô). 3) 126: 42 = 3 (rosas brancas). 4) 294: 42 = 7 (rosas vermelhas). Resposta: 42 buquês: 5 rosas bordô, 3 brancas e 7 rosas vermelhas em cada buquê. Problemas de GCD

Tanya e Masha compraram o mesmo número de kits postais. Tanya pagou 90 rublos e Masha pagou 5 rublos. mais. Quanto custa um conjunto? Quantos conjuntos cada pessoa comprou? Solução: 1) 90 + 5 = 95 (esfregar.) Masha pagou. 2) GCD (90 e 95) = 5 (esfregar) – preço de 1 conjunto. 3) 980: 5 = 18 (conjuntos) – comprado por Tanya. 4) 95: 5 = 19 (conjuntos) – comprado por Masha. Resposta: 5 rublos, 18 conjuntos, 19 conjuntos. Problemas de GCD

Na cidade portuária começam três passeios turísticos de barco, sendo o primeiro com duração de 15 dias, o segundo – 20 e o terceiro – 12 dias. Regressados ao porto, os navios partiram novamente no mesmo dia. Hoje, os navios saíram do porto nas três rotas. Em quantos dias eles navegarão juntos novamente pela primeira vez? Quantas viagens cada navio fará? Solução: 1) NOC (15,20 e 12) = 60 (dias) – horário da reunião. 2) 60: 15 = 4 (viagens) – 1 navio. 3) 60: 20 = 3 (viagens) – 2 navios. 4) 60: 12 = 5 (voos) – 3 navios. Resposta: 60 dias, 4 voos, 3 voos, 5 voos. Tarefas NOC

Masha comprou ovos para o Urso na loja. No caminho para a floresta, ela percebeu que o número de ovos é divisível por 2,3,5,10 e 15. Quantos ovos Masha comprou? Solução: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (ovos) Resposta: Masha comprou 30 ovos. Tarefas NOC

É necessário fazer uma caixa com fundo quadrado para acomodar caixas de 16 ͯ 20 cm Qual é o menor comprimento da lateral do fundo quadrado para encaixar bem as caixas na caixa? Solução: 1) MMC (16 e 20) = 80 (caixas). 2) S = a ∙ b – área de 1 caixa. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – área inferior de 1 caixa. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – área do fundo quadrado. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – dimensões da caixa. Resposta: 160 cm é o lado do fundo quadrado. Tarefas NOC

Ao longo da estrada do ponto K existem postes de energia a cada 45 m, decidiram substituir esses postes por outros, colocando-os a uma distância de 60 m um do outro. Quantos pilares existiam e quantos existirão? Solução: 1) MMC (45 e 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – havia pilares. 3) 180: 60 = 3 – tornaram-se pilares. Resposta: 4 pilares, 3 pilares. Tarefas NOC

Quantos soldados estão marchando no campo de desfile se marcham em formação de 12 pessoas em fila e se transformam em uma coluna de 18 pessoas em fila? Solução: 1) NOC (12 e 18) = 36 (pessoas) - marchando. Resposta: 36 pessoas. Tarefas NOC